bất đẳng thức 2

[ilovescience]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho hai số thực dương a,b.Chứng minh:
(a^3+b^3)/2 \leq (a^2+b^2)^3/(a+b)^3

 

[vngocvien97]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{(a^3+b^3)}{2}\leq \frac{(a^2+b^2)^3}{(a+b)^3}[/TEX]
Thử xé tung cái này ra xem sao.Trước hết,ta chứng minh:
[TEX](a^3+b^3)(a^3+b^3+3a^2b+3ab^2)\leq 2(a^6+b^6+3a^4b^2+3a^2b^4)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^6+a^3b^3+3a^5b+3a^4b^2+a^3b^3+b^6+3a^2b^4+3ab^5 \leq 2(a^6+b^6+3a^4b^2+3a^2b^4)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^6+b^6-2a^3b^3+3ab(a^3b+ab^3-a^4-b^4)\geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a^3-b^3)^2+3ab(a-b)^2(a^2+ab+b^2)\geq 0[/TEX](BĐT đúng)
[TEX]\Rightarrow (a^3+b^3)(a+b)^3\leq 2(a^2+b^2)^3[/TEX]
[TEX]\Rightarrow dpcm[/TEX]

 

[ilovescience]

bạn giải chỗ "BDT đúng" sai rồi, phải giải lại
[TEX]\Leftrightarrow(a^3- b^3)^2 +3*a*b*(a^3*b+a*b^3 - a^4-a^4) \geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow(a^3-b^3)^2 - 3*a*b*(a-b)^2(a^2+b^2+a*b) \geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow(a-b)^2*(a^2+b^2+a*b)^2-3*a*b*(a-b)^2*(a^2+b^2+a*b)\geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow(a-b)^2 *(a^2+a*b+b^2)^2 *(a^2+b^2+a*b-3*a*b) \geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow(a-b)^2*(a^2+a*b +b^2)^2*(a-b)^2 \geq 0 [/TEX](BDT luôn đúng )
\Rightarrow BDT ban đầu đúng