Bất đẳng thức 10: Kĩ thuật Co-si ngược dấu

[nhokdangyeu01]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

CM bất đẳng thức sau:
[TEX]\frac{a}{1+b^2c}+\frac{b}{1+c^2d}+\frac{c}{1+d^2a}+\frac{d}{1+a^2b} \geq 2[/TEX]
Với a, b, c, d > 0 và a+b+c+d=4

 

[thang271998]

Theo bắt đẳng thức AM-GM
[TEX]\frac{a}{1+b^2c}=a-\frac{ab^2c}{1+b^2c} \geq -\frac{ab^2c}{2b\sqrt{c}}= a-\frac{ab\sqrt{c}}{2}[/TEX]
[TEX]\geq a-\frac{b\sqrt{a.ac}}{2}\geq a-\frac{b(a+ac)}{4}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{a}{1+b^2c} \geq a-\frac{1}{4}(ab+abc)[/TEX]
Tương tự:
[TEX]\frac{b}{1+c^2d}\geq b-\frac{bc+bcd}{4}[/TEX]
[TEX]\frac{c}{1+c^2d}\geq c-\frac{dc+acd}{4}[/TEX]
[TEX]\frac{d}{1+d^2a}\geq d-\frac{da+abd}{4}[/TEX]
Cộng 4 bất đẳng thức trên
[TEX]\frac{a}{1+b^2c}+\frac{b}{1+c^2d}+\frac{c}{1+d^2a}+\frac{d}{1+a^2b}\geq a+b+c+d-\frac{1}{4}(ab+bc+cd+da+abc+bcd+cda+dab)[/TEX]
Lại có
[TEX]ab+bc+cd+da\leq \frac{1}{4}(a+b+c+d)^2=4[/TEX]
[TEX]abc+bcd+cda+dab \leq \frac{1}{16}(a+b+c+d)^3=4[/TEX]
Suy ra
[TEX]\frac{a}{1+b^2c}+\frac{b}{1+c^2d}+\frac{c}{1+d^2a}+\frac{d}{1+a^2b} \geq a+b+d+c -2 =2[/TEX] (đpcm)
dấu bằng xảy ra khi a=b=c=d=1