Toán 10 Bất Đẳng Thức 10 Chọn Lọc

[Hoa sẽ nở vào ngày người đến]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P= (ab+bc+ca-abc) / (a+2b+c)
Giúp em với ạ (

 

[7 1 2 5]

Phải là số thực không âm mới có max được.
Ta có: [tex]a+2b+c=(a+b)+(b+c)\geq 2\sqrt{(a+b)(b+c)}=2\sqrt{b^2+ab+bc+ca}=2\sqrt{b(a+b+c)+ac}=2\sqrt{b+ac},ab+bc+ca-abc=b^2+ba+bc+ac-abc-b^2=b(a+b+c)+ac(1-b)-b^2=b-b^2+ac(1-b)=b(1-b)+ac(1-b)=(1-b)(ac+b)=(a+c)(ac+b) \Rightarrow P \leq \frac{(a+c)\sqrt{ac+b}}{2}=\frac{\sqrt{(a+c)^2(a+b)(b+c)}}{2}=\sqrt{\frac{a+c}{2}.\frac{a+c}{2}.(a+b)(b+c)} \leq \sqrt{(\frac{\frac{a+c}{2}+\frac{a+c}{2}+a+b+b+c}{4})^4}=\frac{1}{4}[/tex]
Dấu "=" xảy ra tại [tex]a=c=\frac{1}{2},b=0[/tex]
Còn với đề không âm thì Min = 0.

 

[Hoa sẽ nở vào ngày người đến]

Phải là số thực không âm mới có max được.
Ta có: [tex]a+2b+c=(a+b)+(b+c)\geq 2\sqrt{(a+b)(b+c)}=2\sqrt{b^2+ab+bc+ca}=2\sqrt{b(a+b+c)+ac}=2\sqrt{b+ac},ab+bc+ca-abc=b^2+ba+bc+ac-abc-b^2=b(a+b+c)+ac(1-b)-b^2=b-b^2+ac(1-b)=b(1-b)+ac(1-b)=(1-b)(ac+b)=(a+c)(ac+b) \Rightarrow P \leq \frac{(a+c)\sqrt{ac+b}}{2}=\frac{\sqrt{(a+c)^2(a+b)(b+c)}}{2}=\sqrt{\frac{a+c}{2}.\frac{a+c}{2}.(a+b)(b+c)} \leq \sqrt{(\frac{\frac{a+c}{2}+\frac{a+c}{2}+a+b+b+c}{4})^4}=\frac{1}{4}[/tex]
Dấu "=" xảy ra tại [tex]a=c=\frac{1}{2},b=0[/tex]
Còn với đề không âm thì Min = 0.

À đúng rồi, mình ghi sai đề, là số thực không âm, tks bạn nhiều :*

 

[Hoa sẽ nở vào ngày người đến]

Phải là số thực không âm mới có max được.
Ta có: [tex]a+2b+c=(a+b)+(b+c)\geq 2\sqrt{(a+b)(b+c)}=2\sqrt{b^2+ab+bc+ca}=2\sqrt{b(a+b+c)+ac}=2\sqrt{b+ac},ab+bc+ca-abc=b^2+ba+bc+ac-abc-b^2=b(a+b+c)+ac(1-b)-b^2=b-b^2+ac(1-b)=b(1-b)+ac(1-b)=(1-b)(ac+b)=(a+c)(ac+b) \Rightarrow P \leq \frac{(a+c)\sqrt{ac+b}}{2}=\frac{\sqrt{(a+c)^2(a+b)(b+c)}}{2}=\sqrt{\frac{a+c}{2}.\frac{a+c}{2}.(a+b)(b+c)} \leq \sqrt{(\frac{\frac{a+c}{2}+\frac{a+c}{2}+a+b+b+c}{4})^4}=\frac{1}{4}[/tex]
Dấu "=" xảy ra tại [tex]a=c=\frac{1}{2},b=0[/tex]
Còn với đề không âm thì Min = 0.

Bạn có thể giải MIN giúp mình không vậy ??

 

[7 1 2 5]

Ta có: [tex]ab+bc+ca-abc=(1-b)(ac+b)[/tex]
Vì a,b,c không âm nên [tex]0 \leq a,b,c \leq 1[/tex] hay [tex]ab+bc+ca-abc \geq 0[/tex]
Vì mẫu dương nên [tex]P \geq 0[/tex]