Bài V trong đề thi Đại Học 2009.....một cách khác đơn giản hơn

H

hughig25

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mình đã xem lời giải bài V trong đề thi ĐH năm nay của anh Phạm Viết Khoa (các bạn search là sẽ thấy bài giải hoàn chỉnh đề năm nay của anh ấy). Nhưng cách giải đó mình thấy ko đơn giản tí nào. Mình xin đưa lên 1 cách khác để các bạn tham khảo.

V: Cho 3 số thực dương [TEX]x,y,z[/TEX] có [TEX]x(x+y+z)=3yz[/TEX]
CMR: [TEX](x+y)^3+(x+z)^3+3(x+y)(y+z)(x+z)\leq5(y+z)^5[/TEX]

Chắc hẳn các bạn biết BĐT này [TEX]a^3+b^3+c^3\geq3abc[/TEX]
thì BĐT cần CM sẽ giống như BĐT này [TEX]5b^3 \geq a^3+c^3+3abc[/TEX]
Ta có [TEX]a^3+b^3+c^3\geq3abc[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]2a^3+b^3+2c^3\geq3abc+a^3+c^3[/TEX]
Cho nên mình chỉ cần CM [TEX]5b^3\geq2a^3+b^3+2c^3[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]2b^3 \geq a^3+c^3[/TEX]
Ta có [TEX]x(x+y+z)=3yz[/TEX]
Chia cả 2 vế cho [TEX]x^2[/TEX]
Ta có [TEX]1+\frac{y}{x}+\frac{z}{x}=3\frac{y}{x} \frac{z}{x}[/TEX]
đặt [TEX]\frac{y}{x}=u[/TEX]
[TEX]\frac{z}{x}=v[/TEX]
ta có [TEX]1+u+v=3uv\leq3(\frac{u+v}{2})^2[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]1+t\leq3\frac{t^2}{4}[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]t\geq2[/TEX]

Quay lại với BĐT cần CM:
[TEX]2(y+z)^3\geq(x+y)^3+(x+z)^3[/TEX] (như đã nói ở trên)
Chia cả 2 vế cho [TEX]x^3[/TEX]
[TEX]2(u+v)^3\geq(1+u)^3+(1+v)^3[/TEX]
Đặt [TEX]t=u+v[/TEX] suy ra [TEX]1+t=3uv[/TEX]
Thế vào trên và biến đổi ta được
[TEX]t^3-2t^2\geq0[/TEX]
BĐT trên đúng vì [TEX]t\geq2[/TEX]
 
D

danger_demol

Cách này cũng là một cách hay, nhưng mà cái bất đẳng thức [tex]a^3+b^3+c^3 >= 3abc[/tex] lại phải chứng minh
Rút cục bài vẫn dài !!!! :D:D:D:D:D:D:D
 
G

giangln.thanglong11a6

danger_demol said:
Cách này cũng là một cách hay, nhưng mà cái bất đẳng thức [tex]a^3+b^3+c^3 >= 3abc[/tex] lại phải chứng minh
Rút cục bài vẫn dài !!!! :D:D:D:D:D:D:D
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Cái BĐT đó rất quen thuộc mà. Nó chính là Cauchy 3 số. Điều quan trọng với 1 lời giải là tính tự nhiên (dễ dàng nghĩ ra) chứ không phải là ngắn hay dài. :) Đi thi thì bạn sẽ chọn cách làm nào dễ nghĩ hơn hay bạn sẽ mất công tìm ra "lời giải đặc sắc"? :-j
 
H

hughig25

hì cái BĐT đó là Cauchy cho 3 số. CM lại làm chi hở bạn, các bài BĐT năm nay đều hơi khó tiếp cận nhưng nếu làm quen thì điều đó lại khá dễ.
 
K

khanhnam_bb

thanh nhầm rùi ??????????huhuhuhuhu cách jair này có oqwr trang nào ý nhỉ??/ wweeen rùi
 
K

khanhnam_bb

posss lên còn choom chỉa cách jair của người khak mà cách này lại chôm chỉa cẤCH CUẢ mấy thây ấy nũa xy=< (x+y)^2chia 4
 
H

hoangtuan_241190

cách này hơi dài nhưng nó rất tự nhiên.
[TEX]cho : x(x+y+z)=3yz. CMR : (x+y)^3+(x+z)^3+3(x+y)(x+z)(y+z)\leq 5(y+z)^3[/TEX]
ta có:[TEX] (x+y)^3 +(x+z)^3 +3(x+y)(x+z)(y+z) =(2x+y+z)((x+y)^2 -(x+y)(x+z) +(x+z)^2) +3(y+z)(x^2+xy+xz+yz) =(2x+y+z)(x(x+y+z) +y^2+z^2 -yz) +3(y+z)(x(x+y+z) +yz)=(2x+y+z)(y^2+2yz+z^2) +12yz(y+z) =2x(y+z)^2 + (y+z)^3 +12xy(y+z)[/TEX]
vậy bđt cần chứng minh[TEX] \Leftrightarrow 2x(y+z)^2 +(y+z)^3 +12xy(y+z)\leq5(y+z)^3[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]x(y+z) +6yz\leq2(y+z)^2\Leftrightarrow2y^2+2z^2\geq2yz+x(x+y+z)-x^2\Leftrightarrow2y^2+2z^2+x^2\geq5yz \Leftrightarrow 2y^2+2z^2+x^2\geq7/2yz+1/2x(x+y+z)\Leftrightarrow2y^2+2z^2+1/2x^2\geq7/2yz+1/2xy +1/2xz\Leftrightarrow7/4(y-z)^2 +1/4(z-x)^2 +1/4(x-y)^2\geq0[/TEX]bất đẳng thức cuối đúng \Rightarrow đpcm!
cách cm trên chỉ dùng bdt [TEX](a-b)^2\geq0 \forall a,b[/TEX].ở đây ta thấy không cân đk a,b,c\geq0 ta vẫn cm đc bđt trên đúng!
 
Q

quoctuan92

Mới học về ứng dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức. Bài này chứng minh bằng đạo hàm cũng được nhưng phải qua nhiều lần ẩn phụ.
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom