Toán 12 GTNN, GTLN

[SN2000]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số thực dương x,y thỏa mãn
[tex]X^{4} + y^{4} + \frac{1}{xy} = xy +2[/tex]
a) CMR:[tex]\frac{1}{2}\leq xy\leq 1[/tex]
b) tìm GTLN của biểu thức
P=
[tex]\frac{2}{1+x^{2}} + \frac{2}{1+y^{2}} - \frac{3}{1+2xy}[/tex]

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

1)[tex]\frac{1}{xy}+x^4+y^4=xy+2 \\\Rightarrow xy-\frac{1}{xy}+2=x^4+y^4 \geq \sqrt{x^4y^4}=x^2y^2[/tex]
Đặt $xy=a$.Khi đó:
[tex]a-\frac{1}{a}+2 \geq 2a^2 \\\Rightarrow \frac{a^2-1+2a}{a} \geq 2a^2 \\\Rightarrow a^2-1+2a-2a^3 \geq 0 \\\Rightarrow 2a^3-a^2-2a+1 \leq 0 \\\Rightarrow (a-1)(a-\frac{1}{2})(a+1) \leq 0 \\\Rightarrow \frac{1}{2} \leq a \leq 1 (a>0)[/tex]
Từ đó ta có điều phải chứng minh.