bài toán về nhân đa thức

[hades510]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Nhờ các anh, chị giải giúp em bài này:
Cho m là 1 số nguyên dương <30. Tìm tất cả các giá trị của m để đa thức x^2+mx+72 là tích của hai đa thức bậc 1 với hệ số nguyên.
em xin thanks trước ,

 

[ngobin3]

Gọi 2 đa thức bậc nhất đó là ax+b và cx+d với a, b, c, d nguyên

Ta có: $(ax+b)(cx+d) = acx^2 + (ad + bc)x + bd$ (1)

a = c = ±1 , (1) trở thành: $x^2 + ±(b+d)x + bd$

Đồng nhất 1 với đa thức đề cho, ta có: $bd = 72 và ±(b+d) = m$

Các ước nguyên của 72 là : $± 1, ± 2 , ± 3, ± 4, ±6, ±8, ±9, ±12, ±18, ±24 , ±36, ± 72$

Vì tích bd > 0 nên b và d cùng dấu.
Các bộ số (b,d) là $(±1,±72) , (±2,±36) , (±3, ±24) , (±4,±18) , (±6, ±12) , (±8,±9)$

Từ đây có thể tìm thấy có 10 số nguyên m nhỏ hơn 30 thỏa $m = ±(b+d)$ với $bd = 72$ là:$ -73, -38, ±27 , ±22 , ±18 , ±17$

Nhưng số nguyên dương thì chỉ có 4 số là : $17, 18, 22, 27$

 

[hades510]

thêm bài nữa
2, Cho đa thức f(x)=x(x+1)(x+2)(ax+b)
a, Xác định a,b để f(x)-f(x-1)=x(x+1)(2x+1) \forall x
b, Tính tổng S=1.2.3+2.3.5+.....+n(n+1)(2n+1) theo n \forall n thuộc N*

 

[harrypham]

thêm bài nữa
2, Cho đa thức f(x)=x(x+1)(x+2)(ax+b)
a, Xác định a,b để f(x)-f(x-1)=x(x+1)(2x+1) \forall x
b, Tính tổng S=1.2.3+2.3.5+.....+n(n+1)(2n+1) theo n \forall n thuộc N*

a) Ta có $$\begin{aligned} f(x)-f(x-1) & =x(x+1)(x+2)(ax+b)-(x-1)x(x+1)(ax+b) \\ & = 4ax^3+3(a+b)x^2+(3b-a)x \end{aligned}$$
Và $x(x+1)(2x+1)=2x^3+3x^2+x$
Vậy $$4ax^3+3(a+b)x^2+(3b-a)x = 2x^3+3x^2+x \iff \begin{cases} 4a=2 \\ 3(a+b)=3 \\ 3b-a=1 \end{cases} \implies a=b= \dfrac{1}{2}$$

b) Ta có
$$\begin{array}{l}1.2.3= f(1)-f(0) \\ 2.3.5=f(2)-f(1) \\ 3.4.7= f(3)-f(2) \\ ... \\ n(n+1)(2n+1)=f(n)-f(n-1) \end{array}$$
$$\implies S=1.2.3+2.3.5+.....+n(n+1)(2n+1)= f(n-1)-f(0)= \boxed{\dfrac{(n-1)n(n+1)^2}{2}}$$

 

[hades510]

a) Ta có $$\begin{aligned} f(x)-f(x-1) & =x(x+1)(x+2)(ax+b)-(x-1)x(x+1)(ax+b) \\ & = 4ax^3+3(a+b)x^2+(3b-a)x \end{aligned}$$
Và $x(x+1)(2x+1)=2x^3+3x^2+x$
Vậy $$4ax^3+3(a+b)x^2+(3b-a)x = 2x^3+3x^2+x \iff \begin{cases} 4a=2 \\ 3(a+b)=3 \\ 3b-a=1 \end{cases} \implies a=b= \dfrac{1}{2}$$

b) Ta có
$$\begin{array}{l}1.2.3= f(1)-f(0) \\ 2.3.5=f(2)-f(1) \\ 3.4.7= f(3)-f(2) \\ ... \\ n(n+1)(2n+1)=f(n)-f(n-1) \end{array}$$
$$\implies S=1.2.3+2.3.5+.....+n(n+1)(2n+1)= f(n-1)-f(0)= \boxed{\dfrac{(n-1)n(n+1)^2}{2}}$$

sao lại là F(n-1) - f(0) hả bác em thấy f(n) - f(0) đúng hơn chứ