Bài toán về hệ thức lượng hay và khó !!!

[newton97]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC vuông tại A. AH là đường cao. HE , HF lần lượt là đường cao của tam giác AHB , AHC. CM:
a) BC bình = 3AH bình + BE bình + CF bình ( đã làm được).
b) căn bậc 3 của BE bình + căn bậc 3 của CF bình + căn bậc 3 của BC bình.

Mọi người giải hộ tớ nhé! Tớ xin cảm ơn rất nhiều !!

 

[ilovescience]

ta có: AEHF là hình chữ nhật.Đặt EA=HF x,EH=AF=y.
Lập phương cả hai vế của BT, ta có:[TEX]BC^2=CF^2+BE^2+3(\sqrt[3]{CF^2.BE^4}+ 3.\sqrt[3]{BE^2.CF^4})[/TEX](1)
Áp dụng câu a, ta có;(1)\Leftrightarrow [TEX]\sqrt[3]{CF^2.BE}.BE+\sqrt[3]{BE^2.CF}.CF= AH^2[/TEX]. Ta đi c/m DT này
Ta có:[TEX]\frac{AE}{BE}=\frac{CF}{AF}=\frac{HC}{BH}\RightarrowBE.CF=AE.AF[/TEX] [TEX]\Rightarrow BE.CF^2=x.y.CF=x.x^2=x^3\Rightarrow \sqrt[3{CF^2.BE}.BE=x.BE=y^2 [/TEX].
Tương tự, ta có: [TEX]\sqrt[3]{BE^2.CF}.CF=x^2\Rightarrow\sqrt[3]{CF^2.BE}.BE+\sqrt[3]{BE^2.CF}.CF=x^2+y^2=AH^2[/TEX].Do DT cuối luôn đúng nên đẳng thức ban đầu được C/m