Bổ đề: Một đa thức $g(x)$ có hệ số nguyên và $a;b \in Z $ thì $g(a)-g(b) \vdots a-b$
Chứng minh bổ đề:
Đặt $g(x)=t_nx^n+t_{n-1}x^{n-1}+...+t_0$
$\leftrightarrow g(a)-g(b)=t_n(a^n-b^n)+t_{n-1}(a^{n-1}-b^{n-
1})+...+t_1(a-b) \vdots a-b (dpcm)$
Quay lại bài toán
Giả sử đa thức có nghiệm $f(k)$ với $k \in Z$
Ta có vì $f(x)$ có các hệ số nguyên nên $f(1);f(2);f(6) \in Z$
Lại phân tích $2005=401.5$
Vì vậy trong 3 số $f(1);f(2);f(6)$ phải có một số bằng 1
Xét $f(1)=1$. $\rightarrow f(1)-f(k)=1-0=0$
Áp dụng bổ đề ta có: $f(1)-f(k) \vdots 1-k \leftrightarrow 1 \vdots 1-k$
$\leftrightarrow 1-k \in \{ -1;1 \} \leftrightarrow k \in \{ 0;2 \}$
Xét $k=0 \leftrightarrow f(6)-f(0) \vdots 6 \leftrightarrow f(6) \vdots 6$
Vô lí vì $f(1).f(2).f(6)=2005$ không chia hết cho 6
Xét $k=2 \leftrightarrow f(1).f(2).f(6)=0 \rightarrow$ vô lí
Xét $f(2)=1$. $\rightarrow f(2)-f(k)=1-0=0$
Áp dụng bổ đề ta có: $f(2)-f(k) \vdots 2-k \leftrightarrow 1 \vdots 2-k$
$\leftrightarrow 2-k \in \{ -1;1 \} \leftrightarrow k \in \{ 1;3 \}$
Xét $k=1 \leftrightarrow f(1).f(2).f(6)=0 \rightarrow $ vô lí
Xét $k=3 \leftrightarrow f(6)-f(3) \vdots 3 \leftrightarrow f(6) \vdots 3$
Vô lí vì $f(1).f(2).f(6)=2005$ không chia hết cho 3
Xét $f(6)=1$. $\rightarrow f(6)-f(k)=1-0=0$
Áp dụng bổ đề ta có: $f(6)-f(k) \vdots 6-k \leftrightarrow 1 \vdots 6-k$
$\leftrightarrow 6-k \in \{ -1;1 \} \leftrightarrow k \in \{ 5;7 \}$
Xét $k=5 \leftrightarrow f(5)-f(2) \vdots 3 \leftrightarrow f(2) \vdots 3$
Vô lí vì $f(1).f(2).f(6)=2005$ không chia hết cho 3
Xét $k=7 \leftrightarrow f(7)-f(1) \vdots 3 \leftrightarrow f(1) \vdots 3$
Vô lí vì $f(1).f(2).f(6)=2005$ không chia hết cho 3$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn