Toán 8 Bài toán về chứng minh.

[Bé Nai Dễ Thương]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho 2 số A(n) và B(n) như sau:
[tex]A=2 ^{2n+1}+ 2^{n+1}+1[/tex]
[tex]B= 2^{2n+1}-2^{n+1}+1[/tex]
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, tồn tại một và duy nhất một trong hai số A(n) hoặc B(n) chia hết cho 5.
( Đây là một bài toán mình vừa đọc trên mạng và nó khá là hóc búa nên nhờ mọi người giúp đỡ.)
@besttoanvatlyzxz , @Vũ Lan Anh , @hoa du , @Tạ Đặng Vĩnh Phúc , @Blue Plus

 

[Ann Lee]

Cho 2 số A(n) và B(n) như sau:
[tex]A(n)=2 ^{2n+1}+ 2^{n+1}+1[/tex]
[tex]B(n)= 2^{2n+1}-2^{n+1}+1[/tex]
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, tồn tại một và duy nhất một trong hai số A(n) hoặc B(n) chia hết cho 5.
( Đây là một bài toán mình vừa đọc trên mạng và nó khá là hóc búa nên nhờ mọi người giúp đỡ.)

Ta xét [tex]A(n)-B(n)=2^{2n+1}+2^{n+1}+1-(2^{2n+1}-2^{n+1}+1)=2.2^{n+1}=2^{n+2}[/tex]
Vì [tex]2^{n+2}[/tex] không có chữ số tận cùng là $2;5$ với mọi [tex]n\in \mathbb{N}[/tex] nên [tex]2^{n+2}[/tex] không chia hết cho 5
Hay [tex]A(n)-B(n)[/tex] không chia hết cho 5
Suy ra hai số $A(n)$ hoặc $B(n)$ không thể cùng chia hết cho 5
Ta xét: [tex]A(n).B(n)=(2^{2n+1}+2^{n+1}+1).(2^{2n+1}-2^{n+1}+1)\\=(2^{2n+1}+1)^2-(2^{n+1})^2\\=2^{4n+2}+2.2^{2n+1}.1+1-2^{2n+2}\\=(2^2)^{2n+1}+2^{2n+2}+1-2^{2n+2}\\=4^{2n+1}+1[/tex]
Vì [tex]n\in \mathbb{N}\Rightarrow 2n+1\in \mathbb{N}\Rightarrow (4^{2n+1}+1)\vdots (4+1)\Leftrightarrow (4^{2n+1}+1)\vdots 5[/tex]
Hay [tex]A(n).B(n)\vdots 5[/tex]
Suy ra với mọi số tự nhiên n, tồn tại một và duy nhất một trong hai số $A(n)$ hoặc $B(n)$ chia hết cho 5 (đpcm)