bài toán về bất đẳng thức

[nhavanbecon]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y thay đổi thỏa mãn $x>0$, x+y \geq 1.Tìm Min của biểu thức
[tex]\frac{8x^2 +y}{4x}+y^2[/TEX]

 

[son9701]

Từ giả thiết suy ra $y$ \geq $1-x$ .Ta có:
$A = 2x+y^2+\frac{y}{4x}$ \geq $2x+(1-x)^2+\frac{1-x}{4x}=x^2+\frac{3}{4}+\frac{1}{x}$(1)
Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho 3 số:
[tex]x^2+\frac{1}{2x}+\frac{1}{2x} \geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{4}}[/tex]

Từ đây kết hợp vs (1) suy ra min A

 

[nhavanbecon]

hi

Từ giả thiết suy ra $y$ \geq $1-x$ .Ta có:
$A = 2x+y^2+\frac{y}{4x}$ \geq $2x+(1-x)^2+\frac{1-x}{4x}=x^2+\frac{3}{4}+\frac{1}{x}$(1)
Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho 3 số:
[tex]x^2+\frac{1}{2x}+\frac{1}{2x} \geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{4}}[/tex]

Từ đây kết hợp vs (1) suy ra min A

Vậy ta có min A sấp xỉ = 2,63 nhưng thử lại với x=y=1/2 thỏa mãn đk thì A=1,5 thôi!
M cũng chứng minh như vậy nhưng hình như sai chỗ nào ấy.

 

[bosjeunhan]

Vậy ta có min A sấp xỉ = 2,63 nhưng thử lại với x=y=1/2 thỏa mãn đk thì A=1,5 thôi!
M cũng chứng minh như vậy nhưng hình như sai chỗ nào ấy.

Bạn xem lại dấu bằng, nó có phải là $\frac{1}{2}$ hay không

 

[hthtb22]

Dấu bằng xảy ra

\Leftrightarrow 2x =[tex] y^2=\frac{y}{4x}[/tex] (1)
và [tex]x^2=\frac{1}{2x}[/tex](2)

Từ (2) \Rightarrow x=[tex]\frac{1}{\sqrt[3]{2}}[/tex]

Từ (1) \Rightarrow y=8x \Rightarrow [tex]16x^2=y^2=2x[/tex]
x=[tex]\frac{1}{2}[/tex]

 

[khaitien]

Từ giả thiết suy ra $y$ \geq $1-x$ .Ta có:
$A = 2x+y^2+\frac{y}{4x}$ \geq $2x+(1-x)^2+\frac{1-x}{4x}=x^2+\frac{3}{4}+\frac{1}{x}$(1)
Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho 3 số:
[tex]x^2+\frac{1}{2x}+\frac{1}{2x} \geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{4}}[/tex]

Từ đây kết hợp vs (1) suy ra min A

Bạn ấy làm sai mà vẫn cảm ơn à. Lời giải đúng nè :
[TEX] \frac{8x^2+y}{4x} +y^2 = 2x + \frac{y}{4x} + y^2 =(y^2 + \frac{y}{4x} + \frac{x}{2} ) + \frac{3x}{2}[/TEX]
Áp dụng BĐT Cauchy
\Rightarrow [TEX](y^2 + \frac{y}{4x} + \frac{x}{2} ) + \frac{3x}{2} \geq \frac{3x}{2} + \frac{3y}{2}= \frac{3(x+y)}{2} \geq 1,5[/TEX]
Dấu đẳng thức xảy ra \Leftrightarrow [TEX]x=y=\frac{1}{2}[/TEX]
Ấn vào nút thanks + chữ đúng hộ cái .

Bosjeunhan: Không phải cứ đúng thì mới cảm ơn, nếu một người nào đó bỏ công sức ra để giúp bạn tuy nhưng lại không giúp được thì bạn sẽ cụng nói thế này sao?

P/s: Đừng vì những cái mang một vẻ bề ngoài đầy hào nhoáng

 

[vy000]

[TEX]A = 2x+y^2+\frac{y}{4x} \geq 2x+(1-x)^2+\frac{1-x}{4x}=x^2+\frac{3}[/TEX]

sai đây:[TEX] y\geq1-x[/TEX] nhưng không chắc chắn rằng [TEX]\Leftrightarrow y^2\geq (1-x)^2[/TEX]

Áp dụng BĐT Cauchy
\Rightarrow [TEX](y^2 + \frac{y}{4x} + \frac{x}{2} ) + \frac{3x}{2} \geq \frac{3x}{2} + \frac{3y}{2}[/TEX]

sai nốt,[TEX]\frac{y}{4x}[/TEX] ko chắc dương mà đòi thanks với đúng gì



cách giải của mình:
[TEX]2x+\frac{y}{4x}+y^2 = x+x+\frac{x+y}{4x}+y^2+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}[/TEX]
[TEX]\geq x+x+\frac{1}{4x}+y-\frac{1}{2}[/TEX]
[TEX]\geq x+y + 2\sqrt[]{x\frac{1}{4x}}-\frac{1}{2}[/TEX]
[TEX]\geq \frac{3}{2}[/TEX]

 

[nhavanbecon]

bạn vy làm đúng rồi đó.Đến bây giờ mình mới nhận ra mình làm sai một chỗ ngớ ngẩn (.Các bạn thử xem bài của bạn son nhé:Bạn ấy sai ở chỗ đẳng thức (1),khi biến đổi [tex]\frac{1-x}{4x}[/tex]=[tex]\frac{1}{x}-\frac{1}{4}[/tex],đúng ra phải bằng :[tex]\frac{1}{4x}-\frac{1}{4}[/tex] mới đúng.Vì vậy ta sẽ có :Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho 3 số:
[tex]x^2+\frac{1}{8x}+\frac{1}{8x} \geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{64}}[/tex],và khi cộng lại sẽ bằng 1,5!(như vậy kết quả vẫn đúng,nhưng khi sai ở phía trên ko biết bài có được điểm không nhỉ?!)