bài toán trong đế thi HSG trường mình

[phantom44]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/Cho các số thực dương a,b,c thoả: abc=1. Tìm max:
[TEX]P = \frac{1}{{a^2 + 2b^2 + 3}} + \frac{1}{{b^2 + 2c^2 + 3}} + \frac{1}{{c^2 + 2b^2 + 3}}\[/TEX]
2/Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' canh a. Trên đường thẳng AA' và BC lần lượt lấy các điểm
M và N sao cho MN cắt C'D' tại K. Tìm GTNN cuả MN.

 

[phantom44]

Trời, Ko ai làm dc à?
Vodichhocmai lên làm thử đi

 

[ctsp_a1k40sp]

1/Cho các số thực dương a,b,c thoả: abc=1. Tìm max:
[TEX]P = \frac{1}{{a^2 + 2b^2 + 3}} + \frac{1}{{b^2 + 2c^2 + 3}} + \frac{1}{{c^2 + 2b^2 + 3}}\[/TEX]

Trời, Ko ai làm dc à?
Vodichhocmai lên làm thử đi

Bài 1
[TEX]a^2+2b^2+3=(a^2+b^2)+(b^2+1)+2 \geq 2(ab+b+1)[/TEX]
nên [TEX]P \leq \sum \frac{1}{2(ab+b+1)}[/TEX]
chú ý ta có đẳng thức [TEX]\sum \frac{1}{ab+b+1}=1 [/TEX]với [TEX]abc=1[/TEX]
Vậy [TEX]P \leq \frac{1}{2}[/TEX]
đẳng thức xảy ra khi [TEX]a=b=c=1[/TEX]​

 

[phantom44]

Bạn thử chứng minh đẳng thức kia đi. Mình cũng làm đến đây rồi nhưng chưa chứng minh đc đẳng thức kia.

 

[phantom44]

À, tiện thể làm con này nữa này :Cho 3 số dương a,b,c thoả 1/a+1/b+1/c=3.Chứng minh:
a^2/(a+bc)+b^2/(b+ca)+c^2/(a+bc)>=(a+b+c)/4

 

[ctsp_a1k40sp]

Bạn thử chứng minh đẳng thức kia đi. Mình cũng làm đến đây rồi nhưng chưa chứng minh đc đẳng thức kia.

Chứng minh đẳng thức : [tex]\sum \frac{1}{ab+b+1} = 1[/tex] khi [tex]abc = 1[/tex]
Cách 1 đơn giản nhất :
Do [tex]abc = 1[/tex] nên tồn tại 3 số x,y,z sao cho [tex]a = \frac{x}{y}, b = \frac{y}{z} , c=\frac{z}{x} [/tex], thay vào có ngay đpcm !
Cách 2 :
[tex]\frac{1}{ab+b+1} + \frac{1}{bc+c+1} + \frac{1}{ca + a + 1}[/tex]
[tex]=\frac{1}{ab+b+1} + \frac{ab}{ab^2c + abc + ab} + \frac{b}{abc+ab+1}[/tex]
[tex]=\frac{1}{ab+b+1} + \frac{ab}{ab + b + 1} + \frac{b}{ab+b+1}[/tex]
[tex]=1[/tex]