bài toán tổng hợp

[boyxuthanh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho 3 số thực dương x, y, z thoả mãn xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
[TEX]M = \frac{x^2}{y +z} + \frac{y^2}{z +x} + \frac{z^2}{x + y}[/TEX]

 

[vodichhocmai]

Cho 3 số thực dương x, y, z thoả mãn xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
[TEX]M = \frac{x^2}{y +z} + \frac{y^2}{z +x} + \frac{z^2}{x + y}[/TEX]

Ta có:

[TEX]\frac{x^2}{y +z} +\frac{y+z}{4}\ge x[/TEX]

[TEX]\Rightarrow\sum_{cyc}\frac{x^2}{y +z}\ge \frac{x+y+z}{2}\ge \frac{3}{2} [/TEX]

[TEX]AM-GM[/TEX]

 

[0932171556]

[tex]\frac{x^2}{z+y}+\frac{x+y}{4}[/tex] [TEX]\geq[/TEX][TEX]x[/TEX]
[tex]\frac{y^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}[/tex] [TEX]\geq[/TEX][TEX]y[/TEX]
[tex]\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}[/tex] [TEX]\geq[/TEX][TEX]z[/TEX]
=>[tex]\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\ge \frac{1}{2}(x+y+z)[/tex][TEX]\geq[/TEX] [TEX]\frac{3}{2}(xyz)=\frac{3}{2}[/tex]