bai toán tổng hợp nè

[boyxuthanh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho 3 số thực x, y, z thoả mãn [TEX]x+y+z=\frac{3}{4}[/TEX]. Chứng minh rằng:
[TEX]\sqrt[3]{x+3y}+\sqrt[3]{y+3z}+\sqrt[3]{z+3x}\le3[/TEX]

 

[thong1990nd]

Cho 3 số thực x, y, z thoả mãn [TEX]x+y+z=\frac{3}{4}[/TEX]. Chứng minh rằng:
[TEX]\sqrt[3]{x+3y}+\sqrt[3]{y+3z}+\sqrt[3]{z+3x}\le3[/TEX]

đặt [TEX]a=\sqrt[3]{x+3y},b=\sqrt[3]{y+3z},c=\sqrt[3]{z+3x}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a^3+b^3+c^3=4(x+y+z)=3[/TEX]
BDT cần CM: [TEX]a+b+c \leq 3[/TEX]
có [TEX]a^3+1+1 \geq 3\sqrt[3]{a^3}=3a[/TEX]
[TEX]b^3+1+1 \geq 3b[/TEX]
[TEX]c^3+1+1 \geq 3c[/TEX]
cộng 3 BDT có [TEX]a^3+b^3+c^3+6 \geq 3(a+b+c)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 3(a+b+c) \leq 3+6=9 \Rightarrow a+b+c \leq 3[/TEX] (đpcm)
dấu = x ra [TEX]\Leftrightarrow a=b=c \Leftrightarrow \sqrt[3]{x+3y}=\sqrt[3]{y+3z}=\sqrt[3]{z+3x}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x+3y=y+3z=z+3x \Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{4}[/TEX]