Ta có [imath]a_1+a_2+a_3=a_4+a_5+a_6[/imath]
[imath]\Leftrightarrow a_1+a_2+a_3+ (9-a_4) + (9-a_5) + (9-a_6) = 27[/imath]
Đặt [imath](9-a_4)=x; (9-a_5)=y ; (9-a_6)=z[/imath]
Khi đó [imath]a_1+a_2+a_3+x+y+z=27[/imath] với [imath]a_1,a_2,a_3,x,y,z \in \mathbb{N};a_1,a_2,a_3,x,y,z \leq 9[/imath]
Số nghiệm tự nhiên của phương trình là [imath]C^{6-1}_{27+6-1}=201376[/imath]
Xét trường hợp vi phạm khi đó tồn tại ít nhất 1 số trong 6 số [imath]a_1,a_2,a_3,x,y,z\geq 10[/imath]
Đặt [imath]A_1,A_2,A_3 ,A_4,A_5,A_6[/imath] là tập hợp các cách sao cho lần lượt [imath]a_1,a_2,a_3,x,y,z\geq 10[/imath]
Khi đó [imath]|A_1\cup A_2 \cup ... \cup A_6| = |A_1| + |A_2| +...+ |A_6| - (|A_1 \cap A_2| + |A_1 \cap A_3| + \cdots |A_5 \cap A_6| )[/imath]
(chỗ này không cần liệt kê tiếp vì trường hợp giao của 3 tập trở lên, vì nó tương đương tồn tại ít nhất 3 số [imath]\geq 10[/imath] mà tổng 6 số là 27 nên điều đó vô lí)
Mà vai trò các tập trên đều như nhau nên ta có thể rút gọn : [imath]|A_1\cup A_2 \cup... \cup A_6| = C^1_6|A_1| - C^2_6 |A_1 \cap A_2| =6|A_1| - 15 |A_1 \cap A_2|[/imath]
*Đếm [imath]|A_1|[/imath], khi này [imath]a_1 \geq 10[/imath] nên phương trình trên tương đương với: [imath]a_1-10+a_2+a_3+x+y+z=17[/imath]
Có số nghiệm là [imath]C^{6-1}_{17+6-1}=26334[/imath]
*Đếm [imath]|A_1\cap A_2|[/imath], khi này [imath]a_1,a_2\geq 10[/imath] ên phương trình trên tương đương với [imath]a_1-10+a_2-10+a_3+x+y+z=7[/imath]
Có số nghiệm là : [imath]C^{6-1}_{7+6-1}=792[/imath]
Suy ra số trường hợp vi phạm là [imath] 6.26334 - 15.792=136124[/imath]
Vậy số vé hạnh phúc là: [imath]201376-136124=55252[/imath]
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^
Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
[Ôn thi HSG] Phương pháp chia kẹo Euler trong tổ hợp
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
