Gọi số nguyên dương 1,2,...,100 được viết lên bảng, mỗi số viết đúng một lần. Mỗi lần thay số, ta chọn hai số a,b trên bảng và xoá chúng đi, khi đó viết ước chung lớn nhất của hai số $a^2+b^2+2$ và $a^2b^2+3$. Sau một số bước thay số, trên bảng còn lại đúng một số nguyên dương. Chứng minh rằng số này không thể là số chính phương
Mọi người giúp em với ạ
(kí hiệu $[3]$ là $mod 3$)
Gọi $(a^2+b^2+2,a^2b^2+3)=d$
Dễ thấy a,b có vai trò như nhau
TH1: [tex]\left\{\begin{matrix} a\equiv 0[3]\\ b\equiv 0[3] \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^2+b^2+2\equiv 2[3]\\ a^2b^2+3\equiv 0[3] \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Rightarrow d\not\equiv 0[3][/tex]
Do đó số số chia hết cho 3 giảm 2 số
TH2:[tex]\left\{\begin{matrix} a\not\equiv 0[3]\\ b\equiv 0[3] \end{matrix}\right.\\ \Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^2+b^2+2\equiv 1+0+2=0[3]\\ a^2b^2+3\equiv 0[3] \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Rightarrow d\equiv 0[3][/tex]
Do đó số số chia hết cho 3 không đổi
TH3:[tex]\left\{\begin{matrix} a\not\equiv 0[3]\\ b\not\equiv 0[3] \end{matrix}\right.\\ \Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^2+b^2+2\equiv 1+1+2 \not\equiv 0[3]\\ a^2b^2+3\not\equiv 0[3] \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Rightarrow d\not\equiv 0[3][/tex]
Do đó số số chia hết cho 3 không đổi
Do vậy trong mọi trường hợp thì số số chia hết cho 3 giảm 2 hoặc không đổi
Mà từ 1->100 có [tex]\dfrac{99-3}{3}+1=33[/tex] số chia hết cho 3 và số số này là lẻ
Nên số còn lại sau cùng là chia hết cho 3 và là ước chung lớn nhất của hai số $a^2+b^2+2$ và $a^2b^2+3$
Mặt khác [tex]a^2b^2+3\equiv \left\{\begin{matrix} 0+3\\ 1+3\\ 4+3\\ 7+3 \end{matrix}\right.\equiv \left\{\begin{matrix} 3\\ 4\\ 7\\ 1 \end{matrix}\right.[9][/tex]
Do đó số còn lại cuối cùng không chia hết cho 9
Vì số đó chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9 nên số còn lại không thể là số chính phương
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
