Bài toán tính diện tích thể tích hình phẳng-ứng dụng của tích phân

[monkeya4ltt]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Em Kính nhờ các thầy cô và các bạn giải chi tiết và cho em xin đáp số cụ thể bài toán này với ạh, em xin chân thành cám ơn
cho hình phẵng S giới hạn bởi các đường y(2) =x, x-y-2 =0. Tính diện tích và thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng S quanh trục hoành

 

[kenofhp]

Em Kính nhờ các thầy cô và các bạn giải chi tiết và cho em xin đáp số cụ thể bài toán này với ạh, em xin chân thành cám ơn
cho hình phẵng S giới hạn bởi các đường y(2) =x, x-y-2 =0. Tính diện tích và thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng S quanh trục hoành

1. Diện tích hinh phẳng H
Thay vì tính toán theo dx, bài này tính theo dy sẽ tiện hơn.
Hình phẳng giới hạn bởi 2 đường
[TEX](1): x=y^2[/TEX]
[TEX](2): x=y+2[/TEX]

Nhận thấy y chạy từ -1 đến 2, trên miền này, ứng với mỗi x cụ thể thì đồ thị (2) luôn nằm bên phải đồ thị (1). Nói cách khác [TEX]x_2 \geq x_1 \forall y\in [-1, 2][/TEX] nên ta ko cần trị tuyệt đối trong công thức tính diện tích.

[TEX]\Rightarrow S = \int_{-1}^{2} (x_2-x_1) dy=\int_{-1}^2 (y+2 - y^2) dy = \frac{9}{2} [/TEX]


2. Tính diện tích tròn xoay
Khi hình H quay quanh Ox thì phần tròn xoay do phần H dưới Ox nằm trọn trong phần tròn xoay sinh ra do phần H phía trên Ox. Do đó ta chỉ cần tính thể tích tròn xoay do phần H phía trên Ox sinh ra là xong, tránh nhầm tính trên, tính dưới đem cộng lại với nhau là hỏng hết bánh kẹo =))

Lần này thì phải làm theo dx
Thể tích tròn xoay
[TEX]V=V_1-V_2[/TEX]
[TEX]V_1[/TEX] là thể tích tròn xoay của hình [TEX]H_1[/TEX] giới hạn bởi [TEX]y=\sqrt x, x=4, y=0[/TEX]
[TEX]V_2[/TEX] là thể tích tròn xoay của hình [TEX]H_2[/TEX] giới hạn bởi [TEX]y=x-2, x=4, y=0[/TEX]

[TEX]V=\pi (\int_0^4 (\sqrt x)^2 dx -\int_2^4 (x-2)^2 dx)=\pi(8-\frac{8}{3})=\frac{16\pi}{3}[/TEX]

 

[monkeya4ltt]

1. Diện tích hinh phẳng H
Thay vì tính toán theo dx, bài này tính theo dy sẽ tiện hơn.
Hình phẳng giới hạn bởi 2 đường
[TEX](1): x=y^2[/TEX]
[TEX](2): x=y+2[/TEX]

Nhận thấy y chạy từ -1 đến 2, trên miền này, ứng với mỗi x cụ thể thì đồ thị (2) luôn nằm bên phải đồ thị (1). Nói cách khác [TEX]x_2 \geq x_1 \forall y\in [-1, 2][/TEX] nên ta ko cần trị tuyệt đối trong công thức tính diện tích.

[TEX]\Rightarrow S = \int_{-1}^{2} (x_2-x_1) dy=\int_{-1}^2 (y+2 - y^2) dy = \frac{9}{2} [/TEX]


2. Tính diện tích tròn xoay
Khi hình H quay quanh Ox thì phần tròn xoay do phần H dưới Ox nằm trọn trong phần tròn xoay sinh ra do phần H phía trên Ox. Do đó ta chỉ cần tính thể tích tròn xoay do phần H phía trên Ox sinh ra là xong, tránh nhầm tính trên, tính dưới đem cộng lại với nhau là hỏng hết bánh kẹo =))

Lần này thì phải làm theo dx
Thể tích tròn xoay
[TEX]V=V_1-V_2[/TEX]
[TEX]V_1[/TEX] là thể tích tròn xoay của hình [TEX]H_1[/TEX] giới hạn bởi [TEX]y=\sqrt x, x=4, y=0[/TEX]
[TEX]V_2[/TEX] là thể tích tròn xoay của hình [TEX]H_2[/TEX] giới hạn bởi [TEX]y=x-2, x=4, y=0[/TEX]

[TEX]V=\pi (\int_0^4 (\sqrt x)^2 dx -\int_2^4 (x-2)^2 dx)=\pi(8-\frac{8}{3})=\frac{16\pi}{3}[/TEX]

wow, hi, cám ơn bạn nhiều nha, mà ở phần này bạn có tài liệu hay kinh nghiệm học gì hok? share cho mình với, hi, mình dở phần này lắm luôn ^^
ờh mà bạn ơi cái bài này mình tính vậy nè, bạn xem giùm mình sai chỗ nào nhe,
mình tính phần thể tích xoay quanh OX từ O đến 1, rồi phần thể tích từ 1 tới 2, rồi từ 2 đến 4 xong rùi nó ra số kì lắm luôn, bạn xem nếu làm như vậy thì sai chỗ nào vậy bạn? ^^, vì mình không gõ kí hiệu toán được nên xài chữ vậy ^^

 

[kenofhp]

wow, hi, cám ơn bạn nhiều nha, mà ở phần này bạn có tài liệu hay kinh nghiệm học gì hok? share cho mình với, hi, mình dở phần này lắm luôn ^^
ờh mà bạn ơi cái bài này mình tính vậy nè, bạn xem giùm mình sai chỗ nào nhe,
mình tính phần thể tích xoay quanh OX từ O đến 1, rồi phần thể tích từ 1 tới 2, rồi từ 2 đến 4 xong rùi nó ra số kì lắm luôn, bạn xem nếu làm như vậy thì sai chỗ nào vậy bạn? ^^, vì mình không gõ kí hiệu toán được nên xài chữ vậy ^^

Làm bằng cách tách ra của bạn thì thực chất rối hơn, thêm bước hơn thôi chứ nó ko phải là cách khác đâu:
Kiểu như tính: 4+6=10 thì bạn lại tách thành (3+1)+6 =10 ấy )

Thế này nhé: phần tròn xoay từ 0 đến 1 là do hình giới hạn bởi: [TEX]y=\sqrt x, y=0, x=1[/TEX] xoay quanh Ox sinh ra (bạn tránh nhầm cho nửa dưới của parabol cũng xoay rồi cộng lại nhé, vì nửa trên xoay trùm luôn phần dưới rồi).

Tương tự với x từ 1 đến 4 thì phần trên xoay cũng trùm luôn phần dưới rồi. nên chỉ cho phần trên xoay là đủ, tránh cộng với phần dưới.
Túm lại là tách ra chỉ thêm nợ vào thôi, ko được gì hết =))

Còn tài liệu thì h thiếu gì, google với chăm chỉ la liếm các diễn đàn, làm nhiều bài tập nữa là lên trình thôi trước mình học ko có diễn đàn, có mỗi quyển của ông Lê Hồng Đức nên đè ra cày hết nên phần này cũng tạm

 

[adonilh00]

bài này bạn có thể đưa về tính tích phân của y đc bạn ạ!xoay ngược chiều kim đồng hồ 1 góc 90 cái hình trên sau đó coi x là y thay vào công thức khi đó:diện tích S=\int_{-1}^{2} (y+2-y2)
thể tích tính tương tự