$F = \cos x + \sqrt{4 - \cos^2 x}$
Nhìn sơ sơ ta thấy $\cos x \geqslant -1$ và $\sqrt{4 - \cos^2 x} \geqslant \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$ nên $F \geqslant -1 + \sqrt{3} > 0$
$F^2 = 4 + 2\cos x \sqrt{4 - \cos^2 x}$
Xét $\cos x \geqslant 0$ thì $F^2 = 4 + 2\sqrt{4\cos^2 x - \cos^4 x}$
Ta có $G = 4 \cos^2 x - \cos^4 x = -(\cos^2 x - 2)^2 + 4$
Do $0 \leqslant \cos^2 x \leqslant 1$
$\implies -2 \leqslant \cos^2 x - 2 \leqslant -1$
$\implies 4 \geqslant (\cos^2 x - 2)^2 \geqslant 1$
$\implies -4 \leqslant -(\cos^2 x - 2)^2 \leqslant -1$
$\implies 0 \leqslant G = -(\cos^2 x - 2)^2 + 4 \leqslant 3$
$\implies 4 \leqslant F^2 = 4 + 2 \sqrt{G} \leqslant 4 + 2 \sqrt{3}$
$\implies 2 \leqslant |F| \leqslant 1 + \sqrt{3}$
$\implies 2 \leqslant F \leqslant 1 + \sqrt{3}$ (do $F \geqslant 0$)
Xét $\cos x < 0$ thì $F^2 = 4 - 2\sqrt{4\cos^2 x - \cos^4 x} = 4 - 2\sqrt{G}$
Do $0 < G \leqslant 3$ (do đang xét $\cos x < 0$ nên dấu '=' bên trái không xảy ra)
$\implies 4 > F^2 = 4 - 2 \sqrt{G} \geqslant 4 - 2\sqrt{3}$
$\implies 2 > F \geqslant \sqrt{3} - 1$ (do $F \geqslant 0$)
Từ 2TH ta có $1 + \sqrt{3} \geqslant F \geqslant \sqrt{3} - 1$
$F$ nhỏ nhất khi $F = \sqrt{3} - 1$ hay $\cos x = -1$
$F$ lớn nhất khi $F = \sqrt{3} + 1$ hay $\cos x = 1$
-----
Còn nếu bạn biết về đạo hàm và bảng biến thiên rồi thì có thể làm dễ dàng hơn: Đặt $t = \cos x$, $t \in [-1 , 1]$
$F = t + \sqrt{4 - t^2}$
$F' = 1 - \dfrac{t}{\sqrt{4 - t^2}} = \dfrac{\sqrt{4 - t^2} - t}{\sqrt{4 - t^2}}$
$F' = 0 \iff \sqrt{4 - t^2} - t = 0 \iff t = \sqrt{2}$ (L)
$\begin{array}{c|ccc}
t & -1 & & 1 \\
\hline
F' & & + & \\
\hline
& & & 1 + \sqrt{3} \\
F & & \nearrow & \\
& \sqrt{3} - 1 & & \end{array}$
Vậy $F$ lớn nhất khi $F = 1 + \sqrt{3}$ hay $t = \cos x = 1$
$F$ nhỏ nhất khi $F = \sqrt{3} - 1$ hay $t = \cos x = -1$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
