bài toán tìm cực trị

[luoikhonghoc]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho tam giác ABC vuông tại A, từ điểm O trong tam giác kẻ OD vuông góc với Bc, OE vuông góc với AC và Ò vuông góc với AB.Xác định O để OD^2+OE^2+OF^2 đạt min.
giúp nhanh nha tớ sắp phải học rồi!

 

[xyzt1402]

Kẻ AH vuông góc BC,kẻ OI vuông góc AH,
OF mũ hai cộng OE mũ hai bằng EF mũ hai, mà EF mũ hai bằng AD mũ hai
mặt khác AD mũ hai =< AI mũ hai, OD mũ hai bằng IH mũ hai, cuối cùng dùng CoSi

 

[bluesday]

bạn xyzt vẽ đúng rồi mà sao giải lộn xộn vậy
[tex]OD^2+OE^2+OF^2=AO^2+IH^2 \geq AI^2+IH^2 \geq \frac{1}{2}(AI+IH)^2[/tex]
=> O là trung điểm AH

 

[rua_it]

bạn xyzt vẽ đúng rồi mà sao giải lộn xộn vậy

[tex]OD^2+OE^2+OF^2=AO^2+IH^2 \geq AI^2+IH^2 \geq \frac{1}{2}(AI+IH)^2[/tex]

=> O là trung điểm AH

Không đúng.

Đặt [tex]OD=x, OE=y, OF=z[/tex]
[tex]\Rightarrow 2S=xa+yb+zc[/tex]
[tex]Cauchy-Schwarz \Rightarrow (x^2+y^2+z^2)(a^2+b^2+c^2) \geq (xa+yb+zc)^2[/tex]
[tex]\Rightarrow x^2+y^2+z^2 \geq \frac{4S^2}{a^2+b^2+c^2}[/tex]
Đẳng thức xảy ra [tex]\Leftrightarrow \frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c} \Rightarrow x=\frac{2Sa}{a^2+b^2+c^2} ; y=\frac{2Sb}{a^2+b^2+c^2} ; {z=\frac{2Sc}{a^2+b^2+c^2}[/tex]
Lúc này, điểm O là điểm thỏa OA và trung tuyến AK đối xứng qua đường phân giác AE
p/s: OA chính là đường đối trung của tam ABC.