Bài toán thả rơi viên bi (tự chế)

[keh_hikari_f@yahoo.com.vn]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Sáng sớm thức dậy, tự nhiên nhớ tới bài thả rơi các viên bi cách nhau những khoảng thời gian bằng nhau trong đề Olympic 30/4 năm 2012. Thắc mắc rằng nếu bài toán không dừng lại ở đó, mà khảo sát tiếp tục thì sao? Khi đó viên bi 1 chạm đất sẽ nảy lên và va chạm viên bi thứ hai, cứ như thế thì chuyện gì sẽ xảy ra tiếp theo? Và thế là một ý tưởng điên rô chợt "píng poong" ...

Đề bài: Trong một ống chân không thẳng đứng cao H, tại mặt trên trên, người ta thả lần lượt các viên bi khối lượng m coi như chất điểm theo quy luật:
-Viên bi 1 chạm mặt dưới của ống thì thả tiếp viên bi 2.
-Khi viên bi 1 và 2 va chạm thì thả viên bi 3.
-Khi viên bi 2 và 3 va chạm thỉ thả viên bi 4.
-...
-Khi viên bi n-2 và n-1 va chạm thì thả viên bi thứ n.

Giả sử các va chạm là hoàn toàn đàn hồi và các viên bi luôn chuyển động theo phương thẳng đứng dọc theo ống (giả sử thôi nhá, thực tế không có đâu). Hỏi nếu có k viên bi được thả, thì viên bi thứ k sẽ đạt được độ cao cực đại là bao nhiêu?

Câu hỏi phụ: Hiện tượng gì xảy ra trong ống khi các viên bi đã được thả hết?

Mời mọi người cùng thảo luận ...

 

[upandup]

Hình như bài này hơi lí tưởng

Bài này chắc là không có ma sát đâu nhỉ.

Khi thả viên a sau viên a-1, khi va chạm, a nảy lên trên, trong khi a-1 đi xuống dưới.

Quá trình va chạm xảy ra trong tg rất ngắn do vậy động lượng coi như bảo toàn.

Các va chạm đều đàn hồi nên vận tốc trước, sau va chạm không dổi,d lại không có ma sát nên cơ năng được bảo toàn.

Tại vị trí va chạm, a và a-1 có thế năng bằng nhau, động năng cũng bằng nhau.
Tóm lại là: $W_a=W_{a-1}$.

Oh, thế thì nếu có k viên bi được thả thì viên thứ k sẽ đạt độ cao cực đại là H rồi.
------------
Câu phụ.

Khi các viên bi được thả hết thì chúng cứ va đập, va đập nhau mãi tại các điểm va chạm ban đầu của chúng.

À quên. Nếu mà cái ống đử chứa các viên bi thì nó mới như thế được )

 

[keh_hikari_f@yahoo.com.vn]

Câu phụ.

Khi các viên bi được thả hết thì chúng cứ va đập, va đập nhau mãi tại các điểm va chạm ban đầu của chúng.

À quên. Nếu mà cái ống đử chứa các viên bi thì nó mới như thế được )

Câu hỏi chính thì trả lời đúng rồi ... Còn câu hỏi phụ thì chia buồn nhé, nó chỉ đúng khi thả 1 hoặc 2 viên bi thôi ... Từ 3 viên trở lên thì mọi chuyện sẽ khác ...

Ban đầu anh cũng nghĩ giống em, nhưng khi tới lúc làm ra luôn rồi thì mới phát hiện là mấy viên bi này chuyển động không hề đơn giản tí nào ...

Vụ ống chứa đủ bi không có thể bó qua, vì đâu có nói số bi là vô hạn đâu =]] Thả 4 5 viên là đủ khùng rồi =]]

 

[congratulation11]

Câu hỏi chính thì trả lời đúng rồi ... Còn câu hỏi phụ thì chia buồn nhé, nó chỉ đúng khi thả 1 hoặc 2 viên bi thôi ... Từ 3 viên trở lên thì mọi chuyện sẽ khác ...

Ban đầu anh cũng nghĩ giống em, nhưng khi tới lúc làm ra luôn rồi thì mới phát hiện là mấy viên bi này chuyển động không hề đơn giản tí nào ...

Suy nghĩ lại vẫn thấy như vậy không biết cái không hề đơn giản nó như thế nào ạ?

 

[keh_hikari_f@yahoo.com.vn]

Suy nghĩ lại vẫn thấy như vậy không biết cái không hề đơn giản nó như thế nào ạ?

Quả 1 chạm đáy, thả quả 2.
Quá 2 chạm quả 1, nảy ngược trở lên ---> Tới đây coi như an toàn.

Giờ khi 1 chạm 2, thả 3 xuống (thả 3 viên thôi nhé)
Khi vừa thả 3 xuống thì 1 chạy xuống 2 chạy lên.
2 và 3 gặp nhau ở vị trí không phải vị trí cao nhất, khi 1 còn chưa chạm đáy, thì 2 chạy xuống ngay theo 1.
Hỏi chứ vị trí của 1 va chạm 2 có còn như lần trước đó không?
Và những lần tiếp theo, vị trí này thế này, liệu sẽ thay đổi hay vẫn y như cũ?

 

[congratulation11]

Có lẽ cái này cần tính cho trực quan!

Gọi miệng, đáy ống, điểm gặp nhau của 1 và 2 lần lượt là A, B, C.

Tại đáy ống, viên 1 có vận tốc $v=\sqrt{2gH}$

Ta có: $H=\dfrac{1}{2}gt^2+\sqrt{2gH}t-\dfrac{1}{2}gt^2 =\sqrt{2gH}t$

Suy ra: $t=\sqrt{\dfrac{H}{2g}}$. Do đó: $\fbox{$AC=\dfrac{1}{2}gt^2=\dfrac{1}{4}H$}$

Tại C thì 2 có vận tốc $v'=\sqrt{\dfrac{gH}{2}}$

Một cách tương tự thì 2 và 3 gặp nhau tại điểm cách miệng 1 khoảng $\fbox{$AD=\dfrac{1}{16}H$}$

Vật 2 đi quãng đường CD trong $t'= \sqrt{\dfrac{H}{8g}}$ (làm tắt)
Khi đó vật 1 đi được: $S=v't'+\dfrac{1}{2}gt^2=\dfrac{5}{16}H<BC$

Oh, vậy phán đoán trên của anh keh là đúng.

Vật 2 rơi xuống trở lại trong khi 1 vẫn chưa chạm đáy.

Vậy hệ bi sẽ cđ khá phức tạp đây~

Không biết anh còn hững khảo sát tiếp không?

 

[keh_hikari_f@yahoo.com.vn]

Có lẽ cái này cần tính cho trực quan!

Gọi miệng, đáy ống, điểm gặp nhau của 1 và 2 lần lượt là A, B, C.

Tại đáy ống, viên 1 có vận tốc $v=\sqrt{2gH}$

Ta có: $H=\dfrac{1}{2}gt^2+\sqrt{2gH}t-\dfrac{1}{2}gt^2 =\sqrt{2gH}t$

Suy ra: $t=\sqrt{\dfrac{H}{2g}}$. Do đó: $\fbox{$AC=\dfrac{1}{2}gt^2=\dfrac{1}{4}H$}$

Tại C thì 2 có vận tốc $v'=\sqrt{\dfrac{gH}{2}}$

Một cách tương tự thì 2 và 3 gặp nhau tại điểm cách miệng 1 khoảng $\fbox{$AD=\dfrac{1}{16}H$}$

Vật 2 đi quãng đường CD trong $t'= \sqrt{\dfrac{H}{8g}}$ (làm tắt)
Khi đó vật 1 đi được: $S=v't'+\dfrac{1}{2}gt^2=\dfrac{5}{16}H<BC$

Oh, vậy phán đoán trên của anh keh là đúng.

Vật 2 rơi xuống trở lại trong khi 1 vẫn chưa chạm đáy.

Vậy hệ bi sẽ cđ khá phức tạp đây~

Không biết anh còn hững khảo sát tiếp không?

Đó chính là những gì anh đã làm và nhận ra trước khi đơn giản hóa lại bài toán đó thành bài toán sau:

"Đoạn AB nằm ngang dài L với A và B là thành. Tại A, lần lượt bắn ra các viên bi với vận tốc v theo quy tắc:
-Bắn viên 1
-Khi 1 chạm B thì bắn viên 2
-Khi 1 2 va chạm thì bắn 3
-Khi 2 3 va chạm thì bắn 4
...
-Khi n-2 va chạm n-1 thì bắn n

Nhận xét chuyển động của hệ sau khi bắn n hữu hạn viên bi. Coi các viên bi là chất điểm, và các va chạm đều là đàn hồi"

Giải quyết bài này xong đã rồi hẵn đến bài trên kia Mặc dù anh nghĩ ra bài này sau bài trên

p/s: Hãy làm bài này theo một cách sáng tạo chút nhé Đừng xét từng giai đoạn, không hay

 

[congratulation11]

Vừa đọc bài ta đã nhận thấy ngay kết quả, không cần mất công tính toán.

Không ma sát thì các vật cđ thẳng đều.

Đương nhiên viên 1 và 2 va chạm tại giữa thanh AB. 2 và 3 va chạm ở cách A 1/4 L. Sau đó 2 quay lại.... Rõ ràng khi 2 quay lại vị trí va chạm cũ thì không gặp 1....
--------------------
Ta nhận thấy rằng, khi đơn giản hoá vận tốc của các vật bằng nhau nhưng chúng đã gặp nhau ở phía cuối.

Huống hồ chi tạo điều kiện cho vật ở trên cđ nhanh hơn, vật ở dưới cđ chậm hơn.
Có lẽ áp dụng cái này sẽ bớt đi 1 khối lượng tính toán đáng kể!

 

[keh_hikari_f@yahoo.com.vn]

Vừa đọc bài ta đã nhận thấy ngay kết quả, không cần mất công tính toán.

Không ma sát thì các vật cđ thẳng đều.

Đương nhiên viên 1 và 2 va chạm tại giữa thanh AB. 2 và 3 va chạm ở cách A 1/4 L. Sau đó 2 quay lại.... Rõ ràng khi 2 quay lại vị trí va chạm cũ thì không gặp 1....
--------------------
Ta nhận thấy rằng, khi đơn giản hoá vận tốc của các vật bằng nhau nhưng chúng đã gặp nhau ở phía cuối.

Huống hồ chi tạo điều kiện cho vật ở trên cđ nhanh hơn, vật ở dưới cđ chậm hơn.
Có lẽ áp dụng cái này sẽ bớt đi 1 khối lượng tính toán đáng kể!

Đề nghị suy nghĩ lại kỹ hơn ... Hiện tượng xảy ra trong hệ này có chu kỳ đàng hoàng ... Sau một thời gian, mọi thứ lại trở về như lúc bắn viên bi thứ n đó

 

[congratulation11]

Đề nghị suy nghĩ lại kỹ hơn ... Hiện tượng xảy ra trong hệ này có chu kỳ đàng hoàng ... Sau một thời gian, mọi thứ lại trở về như lúc bắn viên bi thứ n đó

Ý tưởng bái làm: Cm điều dự đoán ban đầu là không đúng. =,=

Sao lại có cái câu sau tối nghĩa vậy ạ???