Toán 12 Bài toán [tex]log{_{a}} (3b+2) +log{_{b}} (3a+2)[/tex]

[1KaitouKid1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b thuộc (1;2]. Tim GTNN của biểu thức P= [tex]log{_{a}} (3b+2) +log{_{b}} (3a+2)[/tex]

 

[Tiến Phùng]

Với điều kiện của a và b thì cả 2 số hạng của P đều không âm, áp dụng BĐT Cosy ta được :[tex]log_{a}(3b+2)+log_{b}(3a+2)\geq 2\sqrt{log_{a}(3b+2)log_{b}(3a+2)}=2\sqrt{log_{a}b.log_{b}(3b+2)log_{b}a.log_{a}(3a+2)}=2\sqrt{log_{b}(3b+2)log_{a}(3a+2)}[/tex]
Xét hàm f(x)=[tex]log_{x}(3x+2)=\frac{ln(3x+2)}{ln(x)}; f'(x)=\frac{3xlnx-(3x+2)ln(3x+2)}{ln^2x}[/tex]
Hiển nhiên f'(x)<0 với mọi x thuộc (1;2] . Do đó f'(x) nghịch biến trên (1;2] => f(x)min =f(2)=3
=> P min =[tex]2\sqrt{3.3}[/tex]=6 . Dấu "=" xảy ra <=> a=b=2