Bài toán sử dụng dãy Fibonaci

[noinhobinhyen]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Hôm nay đc thầy giáo cũ của trường mình mà đã về trường chuyên lâu rồi về dạy 1 buổi chiều. Nghe cái chuyên đề về dãy Fibonaci tưởng ko khó lắm vì dãy này quá quen thuộc rồi mà ai ngờ khó vãi ra. Thầy ccho 5 ví dụ thì cả lũ lớp toán ko có đứa nào làm nổi 1 câu luôn.
Xog thầy cho về làm cái câu này.

Cho $(a_n)$ xác định bởi $a_0 = 1; a_{n+1} = \dfrac{7a_n+\sqrt{45a_n^2-36}}{2}$

chứng minh rằng $a_n$ là nguyên dương và $a_n.a_{n-1}-1$ là số chính phương.

 

[nerversaynever]

Dễ thấy (an) tăng, biến đổi tương đương ta có
[TEX]a_{n + 1}^2 - 7a_{n + 1} a_n + a_n^2 + 9 = 0[/TEX] (1)
thay n bởi n+1 ta có
[TEX]a_{n + 2}^2 - 7a_{n + 2} a_{n + 1} + a_{n + 1}^2 + 9 = 0[/TEX]
trừ vế cho vế ta được
[TEX]\left( {a_{n + 2} - a_n } \right)\left( {a_{n + 2} + a_n - 7a_{n + 1} } \right) = 0[/TEX]
do an tăng nên ta đc
[TEX]a_{n + 2} = 7a_{n + 1} - a_n [/TEX]
a1,a2 nguyên nên quy nạp ta đc an nguyên mọi n
cũng từ (1) ta có
[TEX]\begin{array}{l}9\left( {a_{n + 1} a_n - 1} \right) = \left( {a_{n + 1} + a_n } \right)^2 \\ \Leftrightarrow a_{n + 1} a_n - 1 = \left( {\frac{{a_{n + 1} + a_n }}{3}} \right)^2 \\ \end{array}[/TEX]
từ
[TEX]a_{n + 2} + a_{n + 1} = 9a_{n + 1} - \left( {a_{n + 1} + a_n } \right)[/TEX]
sử dụng quy nạp dễ cm đc [TEX]{a_{n + 1} + a_n }[/TEX] chia hết cho 3 suy ra dpcm