Toán 8 Bài toán số học sử dụng hằng đẳng thức

[nguyetngac3dp@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho số nguyên dương n thỏa mãn n và 40 nguyên tố cùng nhau. Chứng minh n^4-1 chia hết cho 40
Mong mọi người giúp đỡ

 

[Hoàng Vũ Nghị]

Cho số nguyên dương n thỏa mãn n và 40 nguyên tố cùng nhau. Chứng minh n^4-1 chia hết cho 40
Mong mọi người giúp đỡ

Do n và 40 là 2 số nguyên tố cùng nhau nên n không chia hết cho 2 và 5
Suy ra n^2 đồng dư với 1 theo mod 8
n^4 đồng dư với 1 theo mod 8
Suy ra n^4 -1 chia hết cho 8
Lại có[tex]n^{4}-1=(n-1)(n+1)(n^{2}+1)=(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5(n-1)(n+1)[/tex] chia hết cho 5
Mà (5;8)=1 nên n^4-1 chia hết cho 5.8=40

 

[nguyetngac3dp@gmail.com]

mình vẫn chưa học đến đồng dư nên chưa được sử dụng bạn ạ

 

[nguyetngac3dp@gmail.com]

bạn có cách khác không?

 

[Hoàng Vũ Nghị]

bạn học hằng đẳng thức rồi đúng k
Bây giờ chỉ cần CM x^4-1 chia hết cho 8
Do x lẻ nên đặt x=2k+1
Suy ra [tex]x^{2}=(2k+1)^{2}=4k^{2}+4k+1[/tex]
[tex]x^{4}=(4k^{2}+4k+1)^{2}=16k^{4}+16k^{2}+1+32k^{2}+8k+8k^{2}[/tex] chia 8 dư 1
Suy ra x^4-1 chia hết cho 8

 

[Ocmaxcute]

Cho số nguyên dương n thỏa mãn n và 40 nguyên tố cùng nhau. Chứng minh n^4-1 chia hết cho 40
Mong mọi người giúp đỡ

Ta có: n^ [tex]n^{4} - 1 = (n-1)(n+1)(n^{2} + 1)[/tex]
Vì số nguyên dương n thỏa mãn n và 40 nguyên tố cùng nhau nên n lẻ và n không chia hết 5
*Khi n lẻ : n-1 ; n+1 ; n^{2} + 1 đều chẵn => (n-1)(n+1)(n^{2} + 1)[/tex] chia hết 8
* Khi n không chia hết 5:
- n = 5k+1 => n - 1 chia hết 5
- n = 5k+2 và n = 5k+3 thì n^{2} + 1 chia hết 5
- n = 5k + 4 => n+1 chia hết 5
Vậy (n-1)(n+1)(n^{2} + 1)[/tex] chia hết 5 và 8 => n^4-1 chia hết cho 40

 

[Hoàng Vũ Nghị]

Ta có: n^ [tex]n^{4} - 1 = (n-1)(n+1)(n^{2} + 1)[/tex]
Vì số nguyên dương n thỏa mãn n và 40 nguyên tố cùng nhau nên n lẻ và n không chia hết 5
*Khi n lẻ : n-1 ; n+1 ; n^{2} + 1 đều chẵn => (n-1)(n+1)(n^{2} + 1)[/tex] chia hết 8
* Khi n không chia hết 5:
- n = 5k+1 => n - 1 chia hết 5
- n = 5k+2 và n = 5k+3 thì n^{2} + 1 chia hết 5
- n = 5k + 4 => n+1 chia hết 5
Vậy (n-1)(n+1)(n^{2} + 1)[/tex] chia hết 5 và 8 => n^4-1 chia hết cho 40

mình nghĩ kết hợp phần chia hết cho 8 của bạn với phần chia hết cho 5 của mình là hợp lí