Cho số nguyên dương n thỏa mãn n và 40 nguyên tố cùng nhau. Chứng minh n^4-1 chia hết cho 40
Mong mọi người giúp đỡ
Ta có: n^ [tex]n^{4} - 1 = (n-1)(n+1)(n^{2} + 1)[/tex]
Vì số nguyên dương n thỏa mãn n và 40 nguyên tố cùng nhau nên n lẻ và n không chia hết 5
*Khi n lẻ : n-1 ; n+1 ; n^{2} + 1 đều chẵn => (n-1)(n+1)(n^{2} + 1)[/tex] chia hết 8
* Khi n không chia hết 5:
- n = 5k+1 => n - 1 chia hết 5
- n = 5k+2 và n = 5k+3 thì n^{2} + 1 chia hết 5
- n = 5k + 4 => n+1 chia hết 5
Vậy (n-1)(n+1)(n^{2} + 1)[/tex] chia hết 5 và 8 => n^4-1 chia hết cho 40