- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,705
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Chào các bạn, bài toán nguyên hàm với sự có mặt của f(x) và f'(x) (có thể có thêm f ''(x)) là một câu theo mình nghĩ chắc chắn sẽ có trong đề thi THPT quốc gia. Vì nó chống được casio, các bạn không thể chỉ đọc đề rồi bấm máy mà phải hiểu bản chất của nguyên hàm và biến đổi rồi mới tính được. Cụ thể, trong kì thi THPT 2018, mã đề 123 câu 42 có một câu như sau:
Cho hàm f(x) thỏa mãn f(2) = [tex]\frac{-2}{9}[/tex] và [tex]f'(x)= 2x[f(x)]^2[/tex] (1) với mọi x thuộc R. Giá trị của f(1) là?
Vị trí câu hỏi nằm trong câu 42, theo sắp xếp thường là dãy câu khó ăn điểm từ 8 trở lên, tuy nhiên nếu đã hiểu kiến thức nguyên hàm cơ bản thì câu này lại vô cùng ngon ăn.
Chia cả 2 vế của 1 cho [TEX][f(x)]^2[/TEX] ta được::
[tex]\frac{f'(x)}{f(x)^2}=2x<=>(\frac{-1}{f(x)})'=2x<=>\frac{-1}{f(x)}=x^2+C<=>f(x)=\frac{-1}{x^2+C}[/tex]
Từ dữ kiện f(2)=[tex]\frac{-2}{9}[/tex] ta thay vào và tìm được C=[TEX]\frac{1}{2}[/TEX]
Vậy f(1)=[TEX]\frac{-2}{3}[/TEX]
Vậy khi gặp dạng này thì cách làm theo như mình hay làm, thì mình sẽ cô lập f(x) và f'(x) về 1 vế, còn lại vế bên kia chỉ có đa thức của x mà thôi. Tại vế có f(x), ta biến đổi và sử dụng tính chất của nguyên hàm, đạo hàm để biến đổi về dạng [tex][f(x)^n.g(x)]'[/tex] với n và g(x) đã biết( như ở ví dụ trên thì n=-1 , g(x)=-1). Khi đưa được dạng đó rồi ta chỉ việc lấy nguyên hàm 2 vế là tìm được hàm f(x). Có 2 tính chất trong tâm được sử dụng, đó là đạo hàm hàm hợp mà đạo hàm của 1 tích : (uv)'=u'v+v'u.
Cùng xem 1 số ví dụ:
Ví dụ 1: Cho f(x) liên tục, không âm trên đoạn [tex][0;\frac{\pi }{2}][/tex] thỏa mãn [tex]f(0)=\sqrt{3}[/tex] và [tex]f(x).f'(x)=cosx\sqrt{1+f^2(x)}[/tex] với mọi x thuộc [tex][0;\frac{\pi }{2}][/tex]. Tính [TEX]f(\frac{\pi }{2})[/TEX].
Lời giải: Dễ dàng cô lập được : [tex]\frac{f(x).f'(x)}{\sqrt{1+f^2(x)}}=cosx<=>(\sqrt{1+f^2(x)})'=cosx<=>\sqrt{1+f^2(x)}=sinx +C<=>f^2(x)=(sinx+C)^2-1[/tex]
Từ dữ kiện [tex]f(0)=\sqrt{3}[/tex] ta thay vào tìm được C = 2.
Vậy [TEX]f(\frac{\pi }{2})[/TEX]=[tex]2\sqrt{2}[/tex]
Ví dụ 2:
Cho hàm f(x) thỏa mãn ; [tex]f''(x).f(x)-(f'(x))^2+xf^2(x)=0;f'(0)=0;f(0)=1[/tex]. Tính f(1)
Lời giải: Vẫn là cô lập: [tex]\frac{f''(x).f(x)-(f'(x))^2}{f^2(x)}=-x=>[\frac{f'(x)}{f(x)}]'=-x=>\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{-x^2}{2}+C[/tex]
Do [TEX]f'(0)=0;f(0)=1[/TEX] nên thay vào ta tìm được C=0
vậy: [tex]\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{-x^2}{2}<=>ln|f(x)|=\frac{-x^3}{6}+C<=>f(x)=e^{\frac{-x^3}{6}+C}[/tex]
Lai do f(0)=1 nên thay vào ta tìm được C=0
Vậy f(1)=[tex]e^{\frac{-1}{6}}[/tex]
Ví dụ 3: Dạng áp dụng (uv)'=u'v+v'u
Cho hàm f(x) liên tục trên R thỏa mãn: [tex]f'(x)+2x.f(x)=e^{-x^2}[/tex] với mọi x thuộc R và f(0)=0. Tính f(1)
Lời giải: Ở bài này ta thấy 2 vế đã cô lập sẵn rồi. Ở VT có f'(x) rồi lại "+f(x).g(x)", ở đây g(x)=2x. Có thể thấy u ở đây là f(x) rồi. Còn v là gì? Suy nghĩ 1 chút ta sẽ thấy, ở VP có [TEX]e^{-x^2}[/TEX], rõ ràng là giả sử ta có biến được VT về dạng (uv)' thì ở VP ta cũng không thể lấy nguyên hàm cái hàm mũ này được. Vậy ta nghĩ đến nhân cả 2 vế với 1 hàm nào đó. Ở đây ta nhân 2 vế với [TEX]e^{x^2}[/TEX]:
[tex]f'(x).e^{x^2}+(e^{x^2}.2x).f(x)=1<=>(f(x).e^{x^2})'=1<=>f(x).e^{x^2}=x+C<=>f(x)=\frac{x+C}{e^{x^2}}[/tex]
Do f(0) = 0 nên C = 0. Vậy f(1)=[tex]\frac{1}{e}[/tex]
Như vậy mình đã giới thiệu cơ bản về cách xử lí khi gặp dạng bài này, đương nhiên kiến thức là vô hạn, muốn làm được các bài phức tạp hơn thì phải làm được các bài cơ bản trước đã. Các bạn có thể tự làm thêm ví dụ sau:
Cho hàm f(x) thỏa mãn [tex]f^2(x).f''(x)+2f(x).[f'(x)]^2=15x^4+12x;f(0)=1;f'(0)=9.[/tex]
Giá trị của [tex]\int_{0}^{1}f^3(x)dx=?[/tex]
A.[tex]\frac{199}{14}[/tex] B.[tex]\frac{227}{42}[/tex] C.[tex]\frac{227}{14}[/tex] D.[tex]\frac{199}{42}[/tex]
Cho hàm f(x) thỏa mãn f(2) = [tex]\frac{-2}{9}[/tex] và [tex]f'(x)= 2x[f(x)]^2[/tex] (1) với mọi x thuộc R. Giá trị của f(1) là?
Vị trí câu hỏi nằm trong câu 42, theo sắp xếp thường là dãy câu khó ăn điểm từ 8 trở lên, tuy nhiên nếu đã hiểu kiến thức nguyên hàm cơ bản thì câu này lại vô cùng ngon ăn.
Chia cả 2 vế của 1 cho [TEX][f(x)]^2[/TEX] ta được::
[tex]\frac{f'(x)}{f(x)^2}=2x<=>(\frac{-1}{f(x)})'=2x<=>\frac{-1}{f(x)}=x^2+C<=>f(x)=\frac{-1}{x^2+C}[/tex]
Từ dữ kiện f(2)=[tex]\frac{-2}{9}[/tex] ta thay vào và tìm được C=[TEX]\frac{1}{2}[/TEX]
Vậy f(1)=[TEX]\frac{-2}{3}[/TEX]
Vậy khi gặp dạng này thì cách làm theo như mình hay làm, thì mình sẽ cô lập f(x) và f'(x) về 1 vế, còn lại vế bên kia chỉ có đa thức của x mà thôi. Tại vế có f(x), ta biến đổi và sử dụng tính chất của nguyên hàm, đạo hàm để biến đổi về dạng [tex][f(x)^n.g(x)]'[/tex] với n và g(x) đã biết( như ở ví dụ trên thì n=-1 , g(x)=-1). Khi đưa được dạng đó rồi ta chỉ việc lấy nguyên hàm 2 vế là tìm được hàm f(x). Có 2 tính chất trong tâm được sử dụng, đó là đạo hàm hàm hợp mà đạo hàm của 1 tích : (uv)'=u'v+v'u.
Cùng xem 1 số ví dụ:
Ví dụ 1: Cho f(x) liên tục, không âm trên đoạn [tex][0;\frac{\pi }{2}][/tex] thỏa mãn [tex]f(0)=\sqrt{3}[/tex] và [tex]f(x).f'(x)=cosx\sqrt{1+f^2(x)}[/tex] với mọi x thuộc [tex][0;\frac{\pi }{2}][/tex]. Tính [TEX]f(\frac{\pi }{2})[/TEX].
Lời giải: Dễ dàng cô lập được : [tex]\frac{f(x).f'(x)}{\sqrt{1+f^2(x)}}=cosx<=>(\sqrt{1+f^2(x)})'=cosx<=>\sqrt{1+f^2(x)}=sinx +C<=>f^2(x)=(sinx+C)^2-1[/tex]
Từ dữ kiện [tex]f(0)=\sqrt{3}[/tex] ta thay vào tìm được C = 2.
Vậy [TEX]f(\frac{\pi }{2})[/TEX]=[tex]2\sqrt{2}[/tex]
Ví dụ 2:
Cho hàm f(x) thỏa mãn ; [tex]f''(x).f(x)-(f'(x))^2+xf^2(x)=0;f'(0)=0;f(0)=1[/tex]. Tính f(1)
Lời giải: Vẫn là cô lập: [tex]\frac{f''(x).f(x)-(f'(x))^2}{f^2(x)}=-x=>[\frac{f'(x)}{f(x)}]'=-x=>\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{-x^2}{2}+C[/tex]
Do [TEX]f'(0)=0;f(0)=1[/TEX] nên thay vào ta tìm được C=0
vậy: [tex]\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{-x^2}{2}<=>ln|f(x)|=\frac{-x^3}{6}+C<=>f(x)=e^{\frac{-x^3}{6}+C}[/tex]
Lai do f(0)=1 nên thay vào ta tìm được C=0
Vậy f(1)=[tex]e^{\frac{-1}{6}}[/tex]
Ví dụ 3: Dạng áp dụng (uv)'=u'v+v'u
Cho hàm f(x) liên tục trên R thỏa mãn: [tex]f'(x)+2x.f(x)=e^{-x^2}[/tex] với mọi x thuộc R và f(0)=0. Tính f(1)
Lời giải: Ở bài này ta thấy 2 vế đã cô lập sẵn rồi. Ở VT có f'(x) rồi lại "+f(x).g(x)", ở đây g(x)=2x. Có thể thấy u ở đây là f(x) rồi. Còn v là gì? Suy nghĩ 1 chút ta sẽ thấy, ở VP có [TEX]e^{-x^2}[/TEX], rõ ràng là giả sử ta có biến được VT về dạng (uv)' thì ở VP ta cũng không thể lấy nguyên hàm cái hàm mũ này được. Vậy ta nghĩ đến nhân cả 2 vế với 1 hàm nào đó. Ở đây ta nhân 2 vế với [TEX]e^{x^2}[/TEX]:
[tex]f'(x).e^{x^2}+(e^{x^2}.2x).f(x)=1<=>(f(x).e^{x^2})'=1<=>f(x).e^{x^2}=x+C<=>f(x)=\frac{x+C}{e^{x^2}}[/tex]
Do f(0) = 0 nên C = 0. Vậy f(1)=[tex]\frac{1}{e}[/tex]
Như vậy mình đã giới thiệu cơ bản về cách xử lí khi gặp dạng bài này, đương nhiên kiến thức là vô hạn, muốn làm được các bài phức tạp hơn thì phải làm được các bài cơ bản trước đã. Các bạn có thể tự làm thêm ví dụ sau:
Cho hàm f(x) thỏa mãn [tex]f^2(x).f''(x)+2f(x).[f'(x)]^2=15x^4+12x;f(0)=1;f'(0)=9.[/tex]
Giá trị của [tex]\int_{0}^{1}f^3(x)dx=?[/tex]
A.[tex]\frac{199}{14}[/tex] B.[tex]\frac{227}{42}[/tex] C.[tex]\frac{227}{14}[/tex] D.[tex]\frac{199}{42}[/tex]
