Bài toán ngắn chứng minh với a + b +c = 0

[neverquit]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Với a+b+c = 0

Chứng minh:

[tex] 2(a^4 + b^4 + c^4 ) = ( a^2 + b^2 + c^2 ) ^2 [/tex]

 

[bboy114crew]

Với a+b+c = 0

Chứng minh:

[tex] 2(a^4 + b^4 + c^4 ) = ( a^2 + b^2 + c^2 ) ^2 [/tex]

ta có:
[TEX]a+b+c = 0 \Rightarrow a^2+b^2+c^2=-2(ab+bc+ac) \Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)^2=4(ab+bc+ac)^2 \Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)= 4(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)+4abc(a+b+c) [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2) \Rightarrow2(a^4 + b^4 + c^4 ) = ( a^2 + b^2 + c^2 ) ^2 [/TEX]

 

[ms.sun]

Với a+b+c = 0

Chứng minh:

[tex] 2(a^4 + b^4 + c^4 ) = ( a^2 + b^2 + c^2 ) ^2 [/tex]

dạo nàymình ngu quá, chỉ nghĩ được cách làm dài dòng này thôi :-<

[TEX]a+b+c=0 \Rightarrow (a+b+c)^2=0 \Rightarrow a^2+b^2+c^2=-2(ab+bc+ca)[/TEX]
vậy [TEX] dpcm \Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=2(ab+bc+ca)^2[/TEX]
xét [TEX] 2(ab+bc+ca)^2=2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+4abc(a+b+c)=2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)[/TEX]
xét [TEX]a^4+b^4+c^4-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)=(a-b-c)(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)=0 ( do...a+b+c=0)[/TEX]