Bài toán (Lớp 7)

[shinichi_02_13]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho mình hỏi bài sau:
Chứng minh rằng với mọi n ($n\in\mathbb{Z};n>0$)
a) $3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^n - 2^n \vdots 10$

b) $10^n + 18n - 1 \vdots 27$

Thanks trước nhé!! Yêu cầu gõ LaTeX, thanks nghìn lần!

 

[hungasdfghjkl]

Bài giải

a)

$3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n=3^n(3^2+1)-2^n(2^2+1)=3^n.10-2^n.5$

Rõ ràng số bị trừ và số trừ đều chia hết cho 10 nên hiệu chia hết cho 10, do đó [TEX]3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n\vdots10[/TEX]

b)

$10^n+18n-1=10^n-1-9n+27n$

[TEX]=\underbrace{99...9}_{n so 9}-9n+27n=9(\underbrace{11....1}_{n so 1}-n)+27n[/TEX]

Vì số $\underbrace{11....1}_{n so 1}$ có tổng các chữ số bằng [TEX]n[/TEX] nên ($\underbrace{11....1}_{n so 1}-n\vdots3$)

Do đó [TEX]9(\underbrace{11....1}_{n so 1}-n)\vdots27[/TEX], suy ra $10^n+18n-1\vdots27$

 

[thinhrost1]

a)

$3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n=3^n(3^2+1)-2^n(2^2+1)=3^n.10-2^n.5$

Rõ ràng số bị trừ và số trừ đều chia hết cho 10 nên hiệu chia hết cho 10, do đó [TEX]3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n\vdots10[/TEX]

b)

$10^n+18n-1=10^n-1-9n+27n$

[TEX]=\underbrace{99...9}_{n so 9}-9n+27n=9(\underbrace{11....1}_{n so 1}-n)+27n[/TEX]

Vì số $\underbrace{11....1}_{n so 1}$ có tổng các chữ số bằng [TEX]n[/TEX] nên ($\underbrace{11....1}_{n so 1}-n\vdots3$)

Do đó [TEX]9(\underbrace{11....1}_{n so 1}-n)\vdots27[/TEX], suy ra $10^n+18n-1\vdots27$

$3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n=3^n(3^2+1)-2^n(2^2+1)=3^n.10-2^n.5$
Tới đây là chưa hết để chứng minh nó chia 10 thêm 1 bước nữa khỏi xét SBT và ST
$3^n.10-2^n.5=3^n.10-2^{n-1}.10=10(3^n-2^{n-1})\vdots10$(đpcm)