Cho bất phương trình: [imath]\log_{3a} 11 + \left(\log_{\frac{1}7} (\sqrt{x^2 + 3ax + 10} + 4 \right) \cdot \log_{3a}(x^2 + 3ax + 12) \ge 0[/imath]. Giá trị thực của tham số [imath]a[/imath] để bất phương trình trên có nghiệm duy nhất thuộc khoảng nào sau đây?
Mọi người giúp mình với
Lê Gia An
Đặt [imath]3 a=m[/imath]
Điều kiện: [imath]m>0, m \neq 1, x^{2}+m x+10>0[/imath].
bpt[imath]\Leftrightarrow \log _{m} 11+\left(\log _{7^{-}} \sqrt{x^{2}+m x+10}+4\right) \log _{m}\left(x^{2}+m x+12\right) \ge 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \log _{1 m} 11-\left(\log _{7} \sqrt{x^{2}+m x+10}+4\right) \log _{m}\left(x^{2}+m x+12\right) \ge 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \dfrac{1}{\log _{11} m}-\log _{7}\left(\sqrt{x^{2}+m x+10}+4\right) \cdot \dfrac{\log _{11}\left(x^{2}+m x+12\right)}{\log _{11} m} \ge 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \dfrac{1-\log _{7}\left(\sqrt{x^{2}+m x+10}+4\right) \cdot \log _{11}\left(x^{2}+m x+12\right)}{\log _{11} m} \ge 0[/imath]
Đặt [imath]u= x^{2}+m x+10[/imath] và [imath]f(u)=\log _{7}(\sqrt{u}+4) \cdot \log (u+2)[/imath]
[imath]\text { Với } m \in(0 ; 1) \Leftrightarrow f(u)=\log _{7}(\sqrt{u}+4) \cdot \log _{11}(u+2) \geq 1 \text {. }[/imath]
Ta có [imath]f(9)=1[/imath] và [imath]f(u)[/imath] là hàm đồng biến [imath]\Rightarrow f(u)>f(9) \Rightarrow x^{2}+m x+10>9 \Leftrightarrow x^{2}+m x+1>0[/imath]
Vì [imath]m \in(0 ; 1)[/imath] nên bất phương trình có nghiệm đúng vởi mọi [imath]x[/imath], nên không thỏa mãn ĐK bài toán.
Với [imath]m>1[/imath] : ta có [imath]f(u) \leq 1=f(9) \Leftrightarrow 0 \leq u \leq 9 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x^{2}+m x+10 \geq 0(1) \\ x^{2}+m x+1 \leq 0(2)\end{array}\right.[/imath]
Xét [imath]x^2+m+1=0[/imath] (*)
Ta có [imath]\Delta_1 =m^2-4[/imath]
+ [imath]1<m<2: (1)> 0\forall x[/imath] (loại)
+ [imath]m=2[/imath] (1) có nghiệm duy nhất là [imath]x=-1[/imath] ; thế lại vào (2) thỏa.
+ [imath]m>2[/imath] (*) có 2 nghiệm thỏa (1) và (2) (loại)
Vậy [imath]a=\dfrac23[/imath]
Có gì khúc mắc em hỏi lại nhé
Ngoài ra em tham khảo thêm tại
Chinh phục kì thi THPTQG môn Toán 2022
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
