Bài toán khó

[hoang9c1998]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mình mới tham gia và nhờ các bạn giải giúp bài toán sau, sắp phải nộp bài rồi.
1) Cho a,b,c,d là các số dương thỏa mãn: a+b+c+d = 4. Chứng minh:
[Tex]\frac{a}{1+b^2} + \frac{b}{1+c^2} + \frac{c}{1+d^2} +\frac{d}{1+a^2}[Tex]>=2 1) Cho a, b, c khác không và đôi một khác nhau thỏa mãn: a^2(b+c) = b^2(a+c) = 2013 Tính giá trị của biểu thức: H = c^2(a+b)[/Tex]

 

[vansang02121998]

Bài 2:

Ta có

$a^2b+a^2c=2013$

$ab^2+b^2c=2013$

Trừ vế với vế, ta có

$a^2b+a^2c-ab^2-b^2c=0$

$\Leftrightarrow ab(a-b)+(ac+bc)(a-b)=0$

$\Leftrightarrow (a-b)(ab+ac+bc)=0$

vì $a;b;c$ đôi một khác nhau $\Rightarrow a-b \ne 0$

$\Rightarrow ab+ac+bc=0$

Xét biểu thức

$A=ab^2+b^2c-ac^2-bc^2$

$A=(ab+ac)(b-c)+bc(b-c)$

$A=(b-c)(ab+ac+bc)=0$

$\Rightarrow ab^2+a^2c=ac^2+bc^2$

$\Leftrightarrow H=2013$

 

[vansang02121998]

Bài 1:

Ta có

$\dfrac{a}{1+b^2}=\dfrac{a+ab^2-ab^2}{1+b^2}=a-\dfrac{ab^2}{1+b^2}$

Áp dụng Cauchy $\Rightarrow 1+b^2 \ge 2b$

$\Rightarrow \dfrac{a}{1+b^2} \ge a-\dfrac{ab}{2}$

Chứng minh tương tự, cộng vế với vế ta có

$\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+d^2}+\dfrac{d}{1+a^2} \ge a+b+c+d-\dfrac{ab+bc+cd+da}{2}$

$\Leftrightarrow \dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+d^2}+\dfrac{d}{1+a^2} \ge 4 - \dfrac{ab+bc+cd+da}{2}$

Giờ chỉ việc chứng minh $(a+b+c+d)^2 \ge 4(ab+bc+cd+da)$

$\Leftrightarrow (a-b+c-d)^2 \ge 0$ ( luôn đúng )

Vậy, $\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+d^2}+\dfrac{d}{1+a^2} \ge 2$

 

[lequang_clhd]

Giờ chỉ việc chứng minh $(a+b+c+d)^2 \ge 4(ab+bc+cd+da)$

$\Leftrightarrow (a-b+c-d)^2 \ge 0$ ( luôn đúng )

Sao lại suy ra được như thế này********************************************************