Tóm tắt đề bài:
P là số nguyên tố
P = a^3 - b^3. Với a,b là số nguyên
CmR: lấy phần nguyên của (4/3).P thì được 1 số X là bình phương của một số lẻ
Giải:
P = a^3 - b^3 = ( a - b)(a^2 + ab + b^2) ( hằng đẳng thức)
Vì P là số nguyên tố nên không thể chia hết cho số nào ngoài 1 và chính nó
Do vậy a - b = 1 (vì a^2 + ab + b^2 lớn hơn a - b nên nó khác 1)
=> P = a^2 + ab + b^2
(4/3).P = (4/3).(a^2 + ab + b^2)
= (4/3).(a^2 - 2ab + b^2 + 3ab)
= (4/3) . [(a-b)^2 + 3ab]
= (4/3) . (3ab + 1)
= 4/3 + 4ab
Chỉ lấy phần nguyên theo giả thiết nên
X = 1 + 4ab
= (a - b)^2 + 4ab
= a^2 - 2ab + b^2 + 4ab
= a^2 + 2ab + b^2
= (a + b)^2
do a - b = 1 nên a, b là 2 số liên tiếp. có 1 số chẵn và 1 số lẻ
chẵn + lẻ = lẻ ; hay a + b là số lẻ
vậy X là bình phương 1 số lẻ theo đề bài
Vậy bài toán c/m xong. Chúc học tốt môn toán!!!
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
