Cho tam giác ABC vuông tại A, M là điểm trên dường cao AH. Trên BM lấy điểm P, trên CM lấy điểm Q sao cho CP = CA, BQ = BA. Đường thẳng BQ cắt CP tại E. Chứng minh rằng EP = EQ.
Lần lượt vẽ $(B; BA)$ và $(C; CA) \Rightarrow P \in (C)$ và $Q \in (B)$
$(C)$ và $(B)$ cắt nhau tại $A$ và $F \Rightarrow AF$ là trục đẳng phương của $(B)$ và $(C) \Rightarrow BC \perp AF \Rightarrow \overline{A,H,F}$
Tiếp tuyến tại $P$ của $(C)$ cắt $AF$ tại $K \Rightarrow \widehat{KPC}=90^{\circ}= \widehat{KHC} \Rightarrow$ Tứ giác $KPHC$ nội tiếp đường tròn tâm $I$ $\Rightarrow \widehat{HPC}=\widehat{HKC}$
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AH$ là đường cao $\Rightarrow CH.CB=CA^{2}=CP^{2}$
$\Rightarrow CP$ là tiếp tuyến của $(BPH) \Rightarrow \widehat{CBP}=\widehat{CPH}=\widehat{HKC}$ $(1)$
Chứng minh tương tự $:$ $BQ$ là tiếp tuyến của $(HQC) \Rightarrow \widehat{BQH}=\widehat{BCQ}$
$BM$ cắt $KC$ tại $I \Rightarrow$ Tứ giác $BHIK$ nội tiếp $($do $(1)$$)$ $\Rightarrow \widehat{BHK}=\widehat{BIK}= 90^{\circ} \Rightarrow M$ là trực tâm của tam giác $BKC$
$CM$ cắt $BK$ tại $L \Rightarrow \widehat{KLC}= 90^{\circ}=\widehat{BHC} \Rightarrow L \in (I) \Rightarrow \widehat{LKH}=\widehat{LCH}=\widehat{BQH} \Rightarrow$ Tứ giác $BHQK$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{BQK}=\widehat{BHK}= 90^{\circ} \Rightarrow KQ$ là tiếp tuyến của $(B) \Rightarrow KQ^{2}=KA.KF=KP^{2} \Rightarrow KQ=KP$
Hai tam giác $EPK$ vuông tại $P$ và $EQK$ vuông tại $Q$ có cạnh huyền $EK$ chung và $KQ=KP$
$\Rightarrow \Delta EPK=\Delta EQK \Rightarrow EP=EQ$ $($điều phải chứng minh$)$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
