Bài toán hình học hay - Kết hợp đường tròn + tiếp tuyến + tứ giác nội tiếp + góc nội tiếp

[nh0xbabywan]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho đường tròn (O;R) có điểm A nằm bên ngoài đường tròn cách tâm O một khoảng bằng 2R. Vẽ đường thẳng d vuông góc với OA tại A. Từ 1 điểm M trên (d) vẽ hai tiếp tuyến MD, ME (O) với D, E là 2 tiếp điểm
a) Cm tứ giác MDOE là tứ giác nội tiếp và 5 điểm M, A, D, E, O cùng thuộc 1 đường tròn
b) Đường thẳng DE cắt MO tại N và cắt OA tại B
Cm OB.OA = ON.OM Suy ra độ dài OB không đổi khi M lưu động trên (d)
c) Cho MA = 3R/2. Tính S tứ giác ABNM theo R
<Giúp mình câu c nhen các bạn. Thanks các bạn nhìu !>

 

[nguyenlamlll]

c. Tính [tex]S_{ABNM}[/tex] theo R:

Áp dụng định lý Pytagore trong [tex]\Delta[/tex]MAO vuông tại A (gt) có:

[tex]OM^2 = OA^2 + MA^2[/tex]
\Rightarrow [tex]OM^2 = 2R + \frac{3R}{2}[/tex]
\Rightarrow [tex]OM = \frac{5R}{2} [/tex]


Xét [tex]\Delta[/tex]ONB và [tex]\Delta[/tex]OMA có:
[tex]\left {\begin{\widehat{ONB}=\widehat{OAM}}\\{\hat{A} chung} [/tex]
\Rightarrow [tex]\Delta[/tex]ONB đồng dạng [tex]\Delta[/tex]OMA

\Rightarrow [tex](\frac {OB}{OM})^2 = \frac {S_{ONB}}{S_{OMA}} [/tex]

\Leftrightarrow [tex](\frac {\frac {R}{2}}{\frac{5R}{2}})^2 = \frac {S_{ONB}}{\frac{3R x 2R}{2 x 2}} [/tex]

\Leftrightarrow [tex](\frac {\frac {R}{2}}{\frac{5R}{2}})^2 = \frac {S_{ONB}}{\frac{3R^2}{2}} [/tex]

\Leftrightarrow[tex]\frac {1}{25} = (S_{ONB}) x \frac{2}{3R^2} [/tex]

\Leftrightarrow[tex]\frac {1}{25} x \frac {3R^2}{2} = S_{ONB} [/tex]

\Leftrightarrow[tex]\frac {3R^2}{50} = S_{ONB}[/tex]



Diện tích tứ giác ABNM = [tex] S_{ABNM} = S_{OMA} - S_{ONB} [/tex]

\Rightarrow [tex] S_{ABNM} = \frac {3R^2}{2} - \frac {3R^2}{50} = \frac {75R^2 - 3R^2}{50} = \frac {72R^2}{50} = \frac {36R^2}{25}[/tex]



======================
Mình tính toán vội nên bạn kiểm lại giúp mình xem đã đúng chưa nhé, ) đáp số thì chưa chắc chắn nhưng cách làm thì bạn yên tâm. Có nhiều cách lắm, nhưng mình thấy cách này ngắn gọn nhất ^^ :

- Tìm OM
- Dùng công thức tỉ số diện tích 2 tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ sổ đồng dạng để tính diện tích tam giác ONB
- Lấy diện tích tam giác OMA trừ cho diện tích tam giác ONB là ra diện tích tứ giác ABNM theo R đề bài hỏi.


p/s : ^^ Tính toán hơi nhiều, cẩn thận kẻo rối.