Bài toán hay

[khaiviptoan]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC nột tiếp đường tròn (O) , AB > AC , 3 đường cao AD, BE , CF . Qua D vẽ đường song song với EF cắt AB và AC lần lượt tại P và Q. EF cắt BC tại M. N là trung điểm BC.
Cm: P, Q , M , N cùng thuộc một đường tròn !

Nếu thấy hay nhấn cảm ơn giùm! cảm ơn mấy bn!


Trái Tim Này Không Cần Ai Thương Hại
Đôi Chân Này Thừa Sức Tự Đứng Lên

 

[khaiviptoan]

Ta có ^CQD = ^AEF (1) (đồng vị)
Gọi H là trực tâm tg ABC.
Dễ thấy tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH => ^AEF = ^AHF (2)
mà ^AHF = ^PBD (3) ( góc có cạnh tương ứng vuông góc AH _|_ BD; HF _|_ PB)
(1); (2); (3) => ^CQD = ^PBD => tg CQD ~ tgPBD ( vì có chung ^D đối đỉnh)
=> DQ/DB = DC/DP <=> DP.DQ = DB,DC = (NB + DN).(NC - DN) = (NE + DN).(NE - DN)
<=> DP.DQ = NE^2 - DN^2 (4)
( vì NE là trung tuyến thuộc cạnh huyền của tg vuông BEC nên NB = NC = NE)
Mặt khác: ^BED = ^HED = ^HCD (5) ( do tứ giác CDHE nội tiếp)
và ^BEN = ^CBE = ^CFE (6) ( do tứ giác BCEF nội tiếp)
(5) - (6) : ^BED - ^BEN = ^HCD - ^CFE
<=> ^NED = ^CME ( góc ngoài = tổng 2 góc trong không kề )
=> tg NED ~ tg NME ( vì có thêm ^N chung) => NE/NM = DN/NE <=> NE^2 =DN.NM (7)
Thay (7) vào (4): DP.DQ = NE^2 - DN^2 = DN.NM - DN^2 = DN.(NM - DN) = DN.DM
=> DP/DN = DM/DQ => tg DNP ~ tg DQM ( vì có chung ^D đối đỉnh ) => ^DNP = ^DQM (đpcm)