- 24 Tháng mười 2018
- 1,616
- 1,346
- 216
- 24
- TP Hồ Chí Minh
- Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP Hồ Chí Minh
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
1. giao điểm giữa đường thẳng với đường cong bậc nhất trên bậc nhất
xét [tex](C):y=\frac{ax+b}{cx+d}[/tex] và [tex]:y=mx+n[/tex]
số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d là số nghiệm của phương trình:
[tex]\frac{ax+b}{cx+d}=mx+n<=>mcx^2+(mc+nd-a)x+nd-b=0[/tex]
để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt thì phương trình phải có 2 nghiệm phân biệt [tex]x_1, x_2[/tex].
[tex]\left\{\begin{matrix} mc\neq0\\ (md+nc-a)^2-4mc(nd-b)> 0 \end{matrix}\right.[/tex]
khi đó, tọa độ của 2 giao điểm lần lượt là [tex]A(x_1;mx_1+n)[/tex] và [tex]B(x_2;mx_2+n)[/tex]
[tex]\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1;m(x_2-x_1))[/tex]
một số bài toán thường gặp:
- tìm giá trị m sao cho [tex]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}[/tex]
- tìm giá trị m sao cho [tex]AB=l[/tex] hoặc [tex]AB[/tex] đạt giá trị nhỏ nhất.
- [tex]\widehat{ACB}= 90^o<=>\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=0[/tex]; [tex]\widehat{ACB}< 90^o<=>\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}>0[/tex]; [tex]\widehat{ACB}> 90^o<=>\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}<0[/tex]
- tìm m sao cho 3 điểm A, B, C tạo thành tam giác có diện tích là S: [tex]S_{ABC}=\frac{1}{2}.AB.d(C,d)[/tex].
+chú ý: [tex]C(x_o;y_o)[/tex] và [tex]d:ax+by+c=0[/tex] thì [tex]d(C,d)=\frac{|ax_o+by_o+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}[/tex]
+ [tex]S_{ABC}=\frac{1}{2}.|x_3y_4-x_4y_3|[/tex] với [tex]\overrightarrow{CA}(x_3;y_3);\overrightarrow{CB}(x_4;y_4)[/tex]
+ 2 điểm A, B thỏa mãn bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R: [tex]\frac{AB}{2sinC}=R[/tex]
2. một số ví dụ minh họa
ví dụ 1: tìm giá trị m sao cho đường thẳng [tex]d:y=2mx+1[/tex] cắt đồ thị [tex](C):y=\frac{x}{x+3}[/tex] tại 2 điểm A, B và AB=3.
giải: xét phương trình hoành độ giao điểm, ta có:
[tex]2mx+1=\frac{x}{x+3}<=>2mx^2+6x+3=0 (1)[/tex]
để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt, tức là:
[tex]\left\{\begin{matrix} m\neq 0\\ 9m^2-6m> 0 \end{matrix}\right.<=>x< 0[/tex] hoặc [tex]x> \frac{2}{3}[/tex]
gọi tọa độ 2 điểm A, B lần lượt là [tex]A(x_1;2mx_1+1),B(x_2;2mx_2+1)[/tex]
theo hệ quả viet, ta có: [tex]\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=-3\\ x_1.x_2=\frac{3}{2m} \end{matrix}\right.[/tex]
độ dài đoạn AB: [tex]\sqrt{(x_1-x_2)^2+(2mx_1-2mx_2)^2}=\sqrt{(4m^2+1)(x_1-x_2)^2}=\sqrt{(4m^2+1)((x_1+x_2)^2-4x_1x_2)}=\sqrt{(4m^2+1)(9-\frac{6}{m})}[/tex]
theo đề bài thì: [tex]\sqrt{(4m^2+1)(9-\frac{6}{m})}=\sqrt{15}=>(4m^2+1)(9-\frac{6}{m})=15<=>m=1[/tex]
vậy, m=1.
ví dụ 2: cho đồ thị [tex](C):y=\frac{2x+1}{x-1}[/tex] và [tex]A(-2;5)[/tex]. viết phương trình đường thẳng d cắt (C) tại B và C sao cho tam giác ABC đều.
giải
nhận xét: Tiẹm cận đứng: [tex]x=1[/tex]. Tiệm cận ngang: [tex]y=2[/tex]
phân giác của 2 đường này là: [tex]|x-1|=|y-2|<=>y=x+1\vee y=-x+3[/tex]
A thuộc đường phân giác nên chọn đường [tex]y=-x+3[/tex].
vì tam giác ABC đều nên BC vuông góc với đường phân giác trên, suy ra phương trình đường thẳng d có dạng: [tex]y=x+m[/tex]
xét phương trình hòah độ giao điểm: [tex]x+m=\frac{2x+1}{x-1}<=>x^2+(m-3)x-m-1=0[/tex]. phương trình này luôn có nghiệm với mọi m.
[tex]B(x_1;x_1+m)[/tex] và [tex]C(x_2;x_2+m)[/tex]
tam giác ABC đều nên [tex]AH=\frac{\sqrt{3}}{2}BC[/tex] với [tex]H(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{x_1+x_2+2m}{2}) [/tex] là trung điểm BC.
[tex]AH^2=(\frac{7-m}{2})^2+(\frac{7-m}{2})^2[/tex]
[tex]BC^2=2(x_1-x_2)^2=2((x_1+x_2)^2-4x_1x_2)=2(m^2-2m+13)[/tex]
ta có: [tex]4AH^2=3BC^3<=>(7-m)^2=3(m^2-2m+13)<=>2m^2+8m-10=0<=>m=1\vee m=-5[/tex]
vậy có 2 đường thẳng thỏa mãn là [tex]y=x+1[/tex] và [tex]y=x-5[/tex]
xét [tex](C):y=\frac{ax+b}{cx+d}[/tex] và [tex]:y=mx+n[/tex]
số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d là số nghiệm của phương trình:
[tex]\frac{ax+b}{cx+d}=mx+n<=>mcx^2+(mc+nd-a)x+nd-b=0[/tex]
để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt thì phương trình phải có 2 nghiệm phân biệt [tex]x_1, x_2[/tex].
[tex]\left\{\begin{matrix} mc\neq0\\ (md+nc-a)^2-4mc(nd-b)> 0 \end{matrix}\right.[/tex]
khi đó, tọa độ của 2 giao điểm lần lượt là [tex]A(x_1;mx_1+n)[/tex] và [tex]B(x_2;mx_2+n)[/tex]
[tex]\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1;m(x_2-x_1))[/tex]
một số bài toán thường gặp:
- tìm giá trị m sao cho [tex]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}[/tex]
- tìm giá trị m sao cho [tex]AB=l[/tex] hoặc [tex]AB[/tex] đạt giá trị nhỏ nhất.
- [tex]\widehat{ACB}= 90^o<=>\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=0[/tex]; [tex]\widehat{ACB}< 90^o<=>\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}>0[/tex]; [tex]\widehat{ACB}> 90^o<=>\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}<0[/tex]
- tìm m sao cho 3 điểm A, B, C tạo thành tam giác có diện tích là S: [tex]S_{ABC}=\frac{1}{2}.AB.d(C,d)[/tex].
+chú ý: [tex]C(x_o;y_o)[/tex] và [tex]d:ax+by+c=0[/tex] thì [tex]d(C,d)=\frac{|ax_o+by_o+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}[/tex]
+ [tex]S_{ABC}=\frac{1}{2}.|x_3y_4-x_4y_3|[/tex] với [tex]\overrightarrow{CA}(x_3;y_3);\overrightarrow{CB}(x_4;y_4)[/tex]
+ 2 điểm A, B thỏa mãn bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R: [tex]\frac{AB}{2sinC}=R[/tex]
2. một số ví dụ minh họa
ví dụ 1: tìm giá trị m sao cho đường thẳng [tex]d:y=2mx+1[/tex] cắt đồ thị [tex](C):y=\frac{x}{x+3}[/tex] tại 2 điểm A, B và AB=3.
giải: xét phương trình hoành độ giao điểm, ta có:
[tex]2mx+1=\frac{x}{x+3}<=>2mx^2+6x+3=0 (1)[/tex]
để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt, tức là:
[tex]\left\{\begin{matrix} m\neq 0\\ 9m^2-6m> 0 \end{matrix}\right.<=>x< 0[/tex] hoặc [tex]x> \frac{2}{3}[/tex]
gọi tọa độ 2 điểm A, B lần lượt là [tex]A(x_1;2mx_1+1),B(x_2;2mx_2+1)[/tex]
theo hệ quả viet, ta có: [tex]\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=-3\\ x_1.x_2=\frac{3}{2m} \end{matrix}\right.[/tex]
độ dài đoạn AB: [tex]\sqrt{(x_1-x_2)^2+(2mx_1-2mx_2)^2}=\sqrt{(4m^2+1)(x_1-x_2)^2}=\sqrt{(4m^2+1)((x_1+x_2)^2-4x_1x_2)}=\sqrt{(4m^2+1)(9-\frac{6}{m})}[/tex]
theo đề bài thì: [tex]\sqrt{(4m^2+1)(9-\frac{6}{m})}=\sqrt{15}=>(4m^2+1)(9-\frac{6}{m})=15<=>m=1[/tex]
vậy, m=1.
ví dụ 2: cho đồ thị [tex](C):y=\frac{2x+1}{x-1}[/tex] và [tex]A(-2;5)[/tex]. viết phương trình đường thẳng d cắt (C) tại B và C sao cho tam giác ABC đều.
giải
nhận xét: Tiẹm cận đứng: [tex]x=1[/tex]. Tiệm cận ngang: [tex]y=2[/tex]
phân giác của 2 đường này là: [tex]|x-1|=|y-2|<=>y=x+1\vee y=-x+3[/tex]
A thuộc đường phân giác nên chọn đường [tex]y=-x+3[/tex].
vì tam giác ABC đều nên BC vuông góc với đường phân giác trên, suy ra phương trình đường thẳng d có dạng: [tex]y=x+m[/tex]
xét phương trình hòah độ giao điểm: [tex]x+m=\frac{2x+1}{x-1}<=>x^2+(m-3)x-m-1=0[/tex]. phương trình này luôn có nghiệm với mọi m.
[tex]B(x_1;x_1+m)[/tex] và [tex]C(x_2;x_2+m)[/tex]
tam giác ABC đều nên [tex]AH=\frac{\sqrt{3}}{2}BC[/tex] với [tex]H(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{x_1+x_2+2m}{2}) [/tex] là trung điểm BC.
[tex]AH^2=(\frac{7-m}{2})^2+(\frac{7-m}{2})^2[/tex]
[tex]BC^2=2(x_1-x_2)^2=2((x_1+x_2)^2-4x_1x_2)=2(m^2-2m+13)[/tex]
ta có: [tex]4AH^2=3BC^3<=>(7-m)^2=3(m^2-2m+13)<=>2m^2+8m-10=0<=>m=1\vee m=-5[/tex]
vậy có 2 đường thẳng thỏa mãn là [tex]y=x+1[/tex] và [tex]y=x-5[/tex]
