- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,706
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Bài toán đếm số là 1 dạng thường gặp nhất trong bài toán tổ hợp. Về phương pháp làm, thì cũng như bài toán tổ hợp khác, quan trọng nhất cũng phải là việc phân tích vấn đề, các bước cần làm để hoàn thành yêu cầu của bài.
Các kiểu câu hỏi rất rộng nên ở đây chỉ có thể nêu 1 vài ví dụ, nếu ai còn dạng câu hỏi nào thắc mắc ngoài các dạng này, có thể hỏi bên dưới, mình sẽ trả lời hướng làm.
1. Từ 10 chữ số tự nhiên 0,1,...9, có thể lập được bao nhiêu số:
a. Có 5 chữ số khác nhau
b. Có 6 chữ số, trong đó có 2 chữ số 1, 2 chữ số 2, mỗi chữ số còn lại xuất hiện 1 lần
c. Có 4 chữ số, và số được lập chia hết cho 2
d. Có 5 chữ số khác nhau, trong đó các chữ số tăng dần từ trái qua phải
e. Có 6 chữ số khác nhau, trong đó có 3 chữ số 1 đứng cạnh nhau.
2. Từ 6 chữ số 1,2,3,4,5,6, ta tạo được các số có 4 chữ số khác nhau. Tính tổng tất cả các số đó.
1.a. Với các bài toán đếm số, có 1 điều không bao giờ được quên, đó là chữ số 0 không được đứng đầu. Và thông thường thì ta sẽ cứ tính như bình thường, tức là bao gồm cả trường hợp chữ số 0 đứng đầu, sau đó thì tính riêng trường hợp chữ số 0 đứng đầu. Cuối cùng ta trừ đi là được kết quả cần tìm.
5 chữ số khác nhau, vậy ta cần chọn 5 chữ số từ 9 chữ số, và có hoán vị, vậy số các số được tạo là: [tex]A_{10}^{5}[/tex]
Ta tính các trường hợp chữ số 0 đứng đầu: Do chữ số 0 đứng đầu nên còn 4 vị trí còn lại, ta chọn 4 chữ số từ 9 chữ số, có hoán vị, vậy có: [tex]A_{9}^{4}[/tex] số
Vậy số lượng số thỏa mãn đầu bài là: [tex]A_{10}^{5}-A_{9}^{4}[/tex]
b. Với bài toán tạo số có yêu cầu đặc biệt này, ta phải làm các yêu cầu đó trước. Sau đó mới thả các chữ số còn lại. Đề yêu cầu có 2 chữ số 1 và 2 chữ số 2. Vậy ta lấy 2 vị trí cho số 1, 2 vị trí cho số 2, không hoán vị (do các chữ số này giống nhau). Có: [tex]C_{6}^{2}.C_{4}^{2}[/tex] cách
Còn 2 vị trí còn lại và có 8 chữ số, ta chọn 2 trong 8 chữ số, có hoán vị: [TEX]A_{8}^{2}[/TEX] cách
Vậy số lượng số được tạo là: [TEX]A_{8}^{2}.C_{6}^{2}.C_{4}^{2}[/TEX]
* Tính các trường hợp mà chữ số 0 đứng đầu. Như vậy còn 5 vị trí, thả lần lượt 2 chữ số 1, 2 chữ số 2, và 1 số trong 7 chữ số còn lại, có: [TEX]A_{7}^{1}.C_{5}^{2}.C_{3}^{2}[/TEX] số
Vậy số lượng số thỏa mãn là: [TEX]A_{8}^{2}.C_{6}^{2}.C_{4}^{2}-A_{7}^{1}.C_{5}^{2}.C_{3}^{2}[/TEX]
c. Yêu cầu chia hết cho 2 phải thỏa mãn. Vậy chữ số tận cùng phải chẵn, ta có 5 cách chọn (0,2,4,6,8)
3 chữ số đứng đầu ta tùy ý lựa chọn, chỉ riêng chữ số đầu tiên phải khác 0, do đó ta có: 9.10.10 cách ( do đề bài không có yêu cầu các chữ số khác nhau, nên ta có thể chọn tự do từ 10 chữ số)
Vậy ta có số lượng số thỏa mãn là: [TEX]9.10.10.5[/TEX]
d. Với bài toán mà số được tạo có thứ tự giữa các chữ số thế này, ta phải để ý được 1 điều: trong các chữ số khác nhau được chọn ra, chỉ có một cách xếp chúng theo thứ tự tăng dần ( hoặc giảm dần ) . Do đó nếu ta đã chọn ra được 5 chữ số khác nhau để tạo số, thì chỉ có duy nhất 1 cách xếp thỏa mãn thôi. Như vậy chỉ cần chọn đủ các chữ số là xong. Ta có: [tex]C_{10}^{5}[/tex]
Các trường hợp chữ số 0 đứng đầu, ta có 4 chữ số cần lấy thêm để đứng sau, vậy có: [tex]C_{9}^{4}[/tex] số
Do đó số lượng số thỏa mãn là: [TEX]C_{10}^{5}-C_{9}^{4}[/TEX] số
e. Với bài toán đứng cạnh, ta luôn coi cụm đứng cạnh này là 1 chữ số, trong bài toán xếp hàng cũng vậy.
Vậy coi như 3 số 1 là 1 số, ta có số cần tạo bây giờ còn 4 chữ số, gồm 1 chữ số 1, 3 chữ số khác.
Ta chọn vị trí thả số 1, sau đó chọn 3 trong 9 chữ số còn lại, có hoán vị, có: [tex]4.A_{9}^{3}[/tex] số
*Các trường hợp chữ số 0 đứng đầu: thả số 1 vào 3 vị trí còn lại, và chọn 2 trong 8 chữ số, có: [tex]3.A_{8}^{2}[/tex]
Vậy số lượng số thỏa mãn là: [tex]4.A_{9}^{3}-3.A_{8}^{2}[/tex] số
2. Đầu tiên ta tạo các chữ số khác nhau, có: [tex]A_{6}^{4}=360[/tex] số
Giờ ta để ý, các số được tạo có dạng : abcd
Trong đó số lượt xuất hiện của từng chữ số ở từng vị trí a,b,c,d là như nhau. Do đó, chữ số 1 xuất hiện vị trí a,b,c,d đều là 90 lần. Tương tự với các chữ số còn lại
Vậy khi tính tổng, ta sẽ tính tổng từ hàng đơn vị lên. Cộng hàng đơn vị có: (1+2+3+4+5+6).90=1890
Vậy chữ số hàng đơn vị của kết quả là 0, nhớ 189.
Tương tự hàng chục có tổng là 1890, nhớ 189 từ hàng đơn vị => 1890+189=2079 => chữ số hàng chục là 9, nhớ 207
Hàng trăm: 1890+207=2097 => chữ số hàng trăm là 7, nhớ 209
Cộng hàng nghìn: 1890+209= 2099
Vậy kết quả cần tìm là: 2099790
Các kiểu câu hỏi rất rộng nên ở đây chỉ có thể nêu 1 vài ví dụ, nếu ai còn dạng câu hỏi nào thắc mắc ngoài các dạng này, có thể hỏi bên dưới, mình sẽ trả lời hướng làm.
1. Từ 10 chữ số tự nhiên 0,1,...9, có thể lập được bao nhiêu số:
a. Có 5 chữ số khác nhau
b. Có 6 chữ số, trong đó có 2 chữ số 1, 2 chữ số 2, mỗi chữ số còn lại xuất hiện 1 lần
c. Có 4 chữ số, và số được lập chia hết cho 2
d. Có 5 chữ số khác nhau, trong đó các chữ số tăng dần từ trái qua phải
e. Có 6 chữ số khác nhau, trong đó có 3 chữ số 1 đứng cạnh nhau.
2. Từ 6 chữ số 1,2,3,4,5,6, ta tạo được các số có 4 chữ số khác nhau. Tính tổng tất cả các số đó.
1.a. Với các bài toán đếm số, có 1 điều không bao giờ được quên, đó là chữ số 0 không được đứng đầu. Và thông thường thì ta sẽ cứ tính như bình thường, tức là bao gồm cả trường hợp chữ số 0 đứng đầu, sau đó thì tính riêng trường hợp chữ số 0 đứng đầu. Cuối cùng ta trừ đi là được kết quả cần tìm.
5 chữ số khác nhau, vậy ta cần chọn 5 chữ số từ 9 chữ số, và có hoán vị, vậy số các số được tạo là: [tex]A_{10}^{5}[/tex]
Ta tính các trường hợp chữ số 0 đứng đầu: Do chữ số 0 đứng đầu nên còn 4 vị trí còn lại, ta chọn 4 chữ số từ 9 chữ số, có hoán vị, vậy có: [tex]A_{9}^{4}[/tex] số
Vậy số lượng số thỏa mãn đầu bài là: [tex]A_{10}^{5}-A_{9}^{4}[/tex]
b. Với bài toán tạo số có yêu cầu đặc biệt này, ta phải làm các yêu cầu đó trước. Sau đó mới thả các chữ số còn lại. Đề yêu cầu có 2 chữ số 1 và 2 chữ số 2. Vậy ta lấy 2 vị trí cho số 1, 2 vị trí cho số 2, không hoán vị (do các chữ số này giống nhau). Có: [tex]C_{6}^{2}.C_{4}^{2}[/tex] cách
Còn 2 vị trí còn lại và có 8 chữ số, ta chọn 2 trong 8 chữ số, có hoán vị: [TEX]A_{8}^{2}[/TEX] cách
Vậy số lượng số được tạo là: [TEX]A_{8}^{2}.C_{6}^{2}.C_{4}^{2}[/TEX]
* Tính các trường hợp mà chữ số 0 đứng đầu. Như vậy còn 5 vị trí, thả lần lượt 2 chữ số 1, 2 chữ số 2, và 1 số trong 7 chữ số còn lại, có: [TEX]A_{7}^{1}.C_{5}^{2}.C_{3}^{2}[/TEX] số
Vậy số lượng số thỏa mãn là: [TEX]A_{8}^{2}.C_{6}^{2}.C_{4}^{2}-A_{7}^{1}.C_{5}^{2}.C_{3}^{2}[/TEX]
c. Yêu cầu chia hết cho 2 phải thỏa mãn. Vậy chữ số tận cùng phải chẵn, ta có 5 cách chọn (0,2,4,6,8)
3 chữ số đứng đầu ta tùy ý lựa chọn, chỉ riêng chữ số đầu tiên phải khác 0, do đó ta có: 9.10.10 cách ( do đề bài không có yêu cầu các chữ số khác nhau, nên ta có thể chọn tự do từ 10 chữ số)
Vậy ta có số lượng số thỏa mãn là: [TEX]9.10.10.5[/TEX]
d. Với bài toán mà số được tạo có thứ tự giữa các chữ số thế này, ta phải để ý được 1 điều: trong các chữ số khác nhau được chọn ra, chỉ có một cách xếp chúng theo thứ tự tăng dần ( hoặc giảm dần ) . Do đó nếu ta đã chọn ra được 5 chữ số khác nhau để tạo số, thì chỉ có duy nhất 1 cách xếp thỏa mãn thôi. Như vậy chỉ cần chọn đủ các chữ số là xong. Ta có: [tex]C_{10}^{5}[/tex]
Các trường hợp chữ số 0 đứng đầu, ta có 4 chữ số cần lấy thêm để đứng sau, vậy có: [tex]C_{9}^{4}[/tex] số
Do đó số lượng số thỏa mãn là: [TEX]C_{10}^{5}-C_{9}^{4}[/TEX] số
e. Với bài toán đứng cạnh, ta luôn coi cụm đứng cạnh này là 1 chữ số, trong bài toán xếp hàng cũng vậy.
Vậy coi như 3 số 1 là 1 số, ta có số cần tạo bây giờ còn 4 chữ số, gồm 1 chữ số 1, 3 chữ số khác.
Ta chọn vị trí thả số 1, sau đó chọn 3 trong 9 chữ số còn lại, có hoán vị, có: [tex]4.A_{9}^{3}[/tex] số
*Các trường hợp chữ số 0 đứng đầu: thả số 1 vào 3 vị trí còn lại, và chọn 2 trong 8 chữ số, có: [tex]3.A_{8}^{2}[/tex]
Vậy số lượng số thỏa mãn là: [tex]4.A_{9}^{3}-3.A_{8}^{2}[/tex] số
2. Đầu tiên ta tạo các chữ số khác nhau, có: [tex]A_{6}^{4}=360[/tex] số
Giờ ta để ý, các số được tạo có dạng : abcd
Trong đó số lượt xuất hiện của từng chữ số ở từng vị trí a,b,c,d là như nhau. Do đó, chữ số 1 xuất hiện vị trí a,b,c,d đều là 90 lần. Tương tự với các chữ số còn lại
Vậy khi tính tổng, ta sẽ tính tổng từ hàng đơn vị lên. Cộng hàng đơn vị có: (1+2+3+4+5+6).90=1890
Vậy chữ số hàng đơn vị của kết quả là 0, nhớ 189.
Tương tự hàng chục có tổng là 1890, nhớ 189 từ hàng đơn vị => 1890+189=2079 => chữ số hàng chục là 9, nhớ 207
Hàng trăm: 1890+207=2097 => chữ số hàng trăm là 7, nhớ 209
Cộng hàng nghìn: 1890+209= 2099
Vậy kết quả cần tìm là: 2099790
