Bài toán có chứa 2011 dấu căn

[dien_loan]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài toán có chứa 2011 dấu căn
Xin giúp mình với. Đã suy nghĩ muốn vỡ óc mà vẫn không có cách giải quyết. Bài toán thế này:
Chứng minh:

[tex]\frac{3 - \sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+....+\sqrt{3}}}}}}{6 - \sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+....+\sqrt{3}}}}}}[/tex]

tử số có 2011 dấu căn
mẫu số có 2010 dấu căn
chứng minh phân số trên < 1/5
Thanks các bạn

 

[vansang02121998]

Đặt $\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}} = a$ ( 2011 dấu căn )

$\Rightarrow \sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}=a^2-3$ ( 2010 dấu căn )

$\Rightarrow A=\dfrac{3-a}{9-a^2}=\dfrac{1}{a+3}$

Ta có $a=\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}$

$\Leftrightarrow a>\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{1}}}}$

$\Leftrightarrow a>\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+1}}}$

$\Leftrightarrow a>\sqrt{4}$

$\Leftightarrow a+3>5$

$\Rightarrow \dfrac{1}{a+3} < \dfrac{1}{5}$