Bài toán chứng minh

[tranduytrinh2000]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

||Cho a(1) + a(2) + a(3) + .... + a(n) [TEX]\vdots[/TEX] 5.
Chứng minh [TEX]a(1)^5 + a(2)^5 + a(3)^5 + .... + a(n)^5[/TEX][TEX]\vdots[/TEX] 5

 

[harrypham]

Ý bạn $a(1)=a_1$ ??
Ta viết lại $a_1+a_2+ \cdots + a_n \; \vdots 5$.
Ta chứng minh bài toán phụ sau: $x^5-x \ \vdots 5$ với mọi $x$.
Thật vậy, phân tích $x^5-x=x(x^4-1)=x(x^2-1)(x^2+1)$
+ Nếu $x=5k \implies x^5-x \ \vdots 5$.
+ Nếu $x=5k \pm 1 \implies x^2-1 \ \vdots 5 \implies x^5-x \ \vdots 5$
+ Nếu $x=5k \pm 2 \implies x^2+1 \ \vdots 5 \implies x^5-x \ \vdots 5$.
Ta có đpcm.

Quay lại bài toán, đặt $$A=a_1+a_2+ \cdots + a_n$$ và $$B=a_1^5+a_2^5+ \cdots + a_n^5$$
Lấy $$B-A=(a_1^5-a_1)+(a_2^5-a_2)+ \cdots + (a_n^5-a_n)$$
Theo bài toán trên thì $B-A \ \vdots 5$, mà $A \vdots 5 \implies B \vdots 5$.
Ta có đpcm.