Bài toán chứng minh số chia hết

[quychu2311]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho n số x1, x2.....xn, mỗi số bằng 1 hoặc -1. Biết tổng của n số x1.x2+ x2.x3+ .... +xn.x1 = 0 Chứng minh n chia hết cho 4

 

[tayhd20022001]

Cho n số x1, x2.....xn, mỗi số bằng 1 hoặc -1. Biết tổng của n số x1.x2+ x2.x3+ .... +xn.x1 = 0 Chứng minh n chia hết cho 4
Giải
Cho n số : x1.x2+x2.x3+...+xn.x1
Ta có:
x1.x2+x2.x3+...+xn.x1
A=x.(1+2)+x(2+3)+...+x.(n+1)
A=x.3+x.5+...+x.(n+1).
A=x.(3+5+7+...+(n+1))
A=x.(8+16+....+4.(k+1))
A=x.{4.(2+4+...+2(k.1)}
=> A chia hết cho 4.
Xong!...

 

[0872]

Đặt $S_a=x_{a}x_{a+1}x_{a+2}x_{a+3}$ với $( a=1,2,...,n)$ trong đó $x_{n+1}=x_1 , x_{n+2}=x_2 , x_{n+3}=x_3$

Do $x_a =\{-1,1\}$ với $ a=1,2,...,n$ nên $S_1 , ... , S_n$ chỉ có thể nhận các giá trị $-1$ hoặc $1$

Vì $S=0$ nên lực lượng các số hạng có giá trị $=1$ phải bằng với lực lượng các số số hạng có giá trị $=-1$, mà $S$ có $n$ số hạng, suy ra $n=2k$

Không mất tính tổng quát ta giả sử $S_b=1$ với $( b=1,2,...,k )$ và $S_c=-1$ với $( c=k+1,k+2,...,n)$

Mặt khác $(-1)^k=(-1)^k S_1...S_k(-S_{k+1})...(-S_n)=S_1S_2...S_n=(x_1x_2...x_n)^4=1$

\Rightarrow $k$ là số chẵn. Vậy $4 \vdots n$

P.s: Cách giải mình tham khảo bên VMF