Bài toán chứng minh bất đẳng thức. hi, vì mình học toán tệ lắm.

[thuy.duong]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a, b là các số nguyên dương sao cho (a+1)/a +(b+1)/b cũng là số nguyên. Gọi d là ước chung của a và b. cmr d\leqcăn(a+b).
Tiện thể cho mình hỏi luôn là dấu phân số, dấu căn bậc 2, 3 hay một số kí hiệu toán học khác thì gõ như thế nào? Mình mới tham gia nên còn chưa rõ lắm. Thanks trước nhá!

 

[soicon_boy_9x]

$\dfrac{a+1}{a}+\dfrac{b+1}{b} \in Z \rightarrow \dfrac{a+b}{ab} \in Z$

$\rightarrow a+b \vdots ab$

Lại có $a \vdots d \ \ \ b \vdots d$

$\rightarrow a+b \vdots d^2$

Vì a,b nguyên dương nên $a+b \geq d^2 \rightarrow d \leq \sqrt{a+b}$

Dấu $"="$ xảy ra $\leftrightarrow a=b=1$ hoặc $a=b=2$

 

[congchuaanhsang]

$\dfrac{a+1}{a}+\dfrac{b+1}{b} \in Z \rightarrow \dfrac{a+b}{ab} \in Z$

$\rightarrow a+b \vdots ab$

Lại có $a \vdots d \ \ \ b \vdots d$

$\rightarrow a+b \vdots d^2$

Vì a,b nguyên dương nên $a+b \geq d^2 \rightarrow d \leq \sqrt{a+b}$

Dấu $"="$ xảy ra $\leftrightarrow a=b=1$ hoặc $a=b=2$

Em có cách khác

$\dfrac{a+1}{b}$+$\dfrac{b+1}{a}$=$\dfrac{a^2+b^2+a+b}{ab}$=$\dfrac{(a+b)^2+a+b}{ab}-2$

\Rightarrow$\dfrac{(a+b)^2}{ab}$ $\in$ Z

hay $(a+b)^2$+a+b=mab (1) với m nguyên dương

Do d là ước chung của a và b nên a=pd ; b=qd (p.q $\in$N)

\Rightarrow(1) trở thành

$(p+q)^2d^2+a+b=mpqd^2$\Rightarrowa+b=$[mpq-(p+q)^2]d^2=nd^2$

Mà a,b nguyên dương nên n nguyên dương\Rightarrown\geq1

\Rightarrowa+b\geq$d^2$\Rightarrowd\leq$\sqrt{a+b}$

 

[popstar1102]

bạn xem tại đây