Bài toán bàn cờ

[kiburkid]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chắc nhiều người đã nghe đến bài toán này : Có bao nhiêu ô vuông trên bàn cờ vua.
Câu này cũng đơn giản. Suy nghĩ vài phút là ra. Những ai đang có tư tưởng 64 ô thì rethink nhé.

Đây là bàn cờ vua

64 ô vuông là những ô có kích thước 1x1. Còn trên bàn cờ có 8 loại ô vuông từ 1x1 đến 8x8.
Ta nên đi ngược từ lớn tới nhỏ sẽ dễ hơn là đi ngược từ nhỏ tới lớn.
*Với ô vuông chứa 64 ô nhỏ==> cạnh là 8. Theo hàng dọc cũng như hàng ngang, chỉ có 1 cạnh dài 8 ô ( cạnh này kéo dài từ A->H và từ 1->8)
Vậy số ô vuông chứa 64 ô nhỏ là: 1x1 ô
*Tương tự với ô vuông chứa 49 ô nhỏ==> cạnh là 7. Theo hàng ngang ,có thể thấy 2 cạnh dài 7 ô (2 cạnh này Kéo dài từ A->G và từ B->H).Theo hàng dọc cũng có 2 cạnh dài 7 ô( 2cạnh này kéo dài từ 1->7 và từ 2->8)
Vậy số ô vuông chứa 49 ô nhỏ là: 2x2 ô
Tương tự với các số chính phương còn lại, sẽ có:
3x3 ô vuông có tính chất chứa 36 ô nhỏ
4x4 ô vuông có tính chất chứa 25 ô nhỏ
5x5 ô vuông có tính chất chứa 16 ô nhỏ
6x6 ô vuông có tính chất chứa 9 ô nhỏ
7x7 ô vuông có tính chất chứa 4 ô nhỏ
8x8 ô vuông có tính chất chứa 1 ô nhỏ

Tổng số ô vuông trên bàn cờ vua:
1x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 + 6x6 + 7x7 + 8x8 = 204 ô vuông


Thế thôi. Rất đơn giản. Nhưng em có một bài toán khác mà vẫn chưa giải được. Vẫn là bàn cờ. Nhưng bây giờ câu hỏi là có bao nhiêu hình chữ nhật trên bàn cờ. Ta có sẵn 204 ô vuông rồi. Hình vuông cũng là hình chữ nhật đó. Bây h tính các hình chữ nhật khác. Mà hơi phức tạp em chưa tính đc. Anh chị nào IQ 3 chữ số tính dùm em

 

[nerversaynever]

Với bàn cờ [TEX]n \times n[/TEX] kết quả có [TEX]{\left[ {\frac{{n\left( {n + 1}\right)}}{2}} \right]^2}[/TEX] hình chữ nhật, bài này có nhiều cách giải, chẳng hạn dùng nhận xét sau

Mỗi ô trên bàn cờ tương ứng có tọa độ [TEX](i,j),1 \le i,j \le n[/TEX] ta có nhận xét sau
Với 2 ô bất kỳ [TEX]\left\{ {(i,j);\left( {p,q} \right)} \right\}[/TEX] sẽ tương ứng với 1 hình chữ nhật, do đó có
[TEX]{n^4} = 4{A_1} + 2{A_2} + {A_3}[/TEX] trong đó
A1 là số các hình chữ nhật sao cho cả chiều dài và rộng của nó ko nhỏ hơn 2 ô (mỗi hình chữ nhật loại này bị lặp lại 4 lần)
A2 là số hình chữ nhật có độ dài không nhỏ hơn 2 ô và chiều rộng là 1 ô (mỗi hình chữ nhật loại này bị lặp lại 2 lần)
A3 là số hình vuông 1x1
Ta dễ dàng tính được
[TEX]\begin{array}{l}{A_2} = {n^2}\left( {n - 1} \right)\\{A_3} = {n^2}\end{array}[/TEX]
do đó
số hình chữ nhật bằng
[TEX]{A_1} + {A_2} + {A_3} = \frac{{{n^4} + 2{A_2} + 3{A_1}}}{4} =\frac{{{n^4} + 2{n^3} + {n^2}}}{4} = {\left[ {\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}} \right]^2}[/TEX]

 

[kiburkid]

Chà
Em thik cái kiểu tính qua [TEX]n^4[/TEX] của anh đấy :X

 

[undomistake]

anh neversaynever dùng tọa độ làm mấy em rối hết bây giờ 8-}, còn cách khác là đếm số ô vuông của 1 cạnh bất kỳ và ta tiến hành cộng lập phương số nguyên dương(trừ số 0 đi tại 0^3 vẫn là 0) cho tới số ô vuông đó, ví dụ 1 bàn cờ có cạnh dài 3 ô vuông, vậy thì số hình chữ nhật của bàn cờ sẽ là:
[TEX]1^3+2^3+3^3=16[/TEX]

 

[nerversaynever]

anh neversaynever dùng tọa độ làm mấy em rối hết bây giờ 8-}, còn cách khác là đếm số ô vuông của 1 cạnh bất kỳ và ta tiến hành cộng lập phương số nguyên dương(trừ số 0 đi tại 0^3 vẫn là 0) cho tới số ô vuông đó, ví dụ 1 bàn cờ có cạnh dài 3 ô vuông, vậy thì số hình chữ nhật của bàn cờ sẽ là:
[TEX]1^3+2^3+3^3=16[/TEX]

Uhm, lúc đầu anh dùng cái truy hồi để giải nhưng mà cuối cùng vẫn phải rút gọn cái dãy đó, chú dùng dãy hay dùng cái gì để lập luận?

 

[kiburkid]

anh neversaynever dùng tọa độ làm mấy em rối hết bây giờ 8-}, còn cách khác là đếm số ô vuông của 1 cạnh bất kỳ và ta tiến hành cộng lập phương số nguyên dương(trừ số 0 đi tại 0^3 vẫn là 0) cho tới số ô vuông đó, ví dụ 1 bàn cờ có cạnh dài 3 ô vuông, vậy thì số hình chữ nhật của bàn cờ sẽ là:
[TEX]1^3+2^3+3^3=16[/TEX]

Làm như anh neversaynever còn hiểu đc
Chứ kiểu của anh thì...
Chứng minh dùm em cái anh ơi ...

 

[namcaok]

Số hình chữ nhật của bàn cờ vua được tính như sau:
9.9.8.8/4 = 1296
Có tổng cộng 1296 hình chữ nhật

 

[Dark Knight 2007]

anh neversaynever dùng tọa độ làm mấy em rối hết bây giờ 8-}, còn cách khác là đếm số ô vuông của 1 cạnh bất kỳ và ta tiến hành cộng lập phương số nguyên dương(trừ số 0 đi tại 0^3 vẫn là 0) cho tới số ô vuông đó, ví dụ 1 bàn cờ có cạnh dài 3 ô vuông, vậy thì số hình chữ nhật của bàn cờ sẽ là:
[TEX]1^3+2^3+3^3=16[/TEX]

ủa mà [tex]1^{3}+2^{3}+3^{3}=36[/tex] mà

 

[theshy<3]

Với bàn cờ [TEX]n \times n[/TEX] kết quả có [TEX]{\left[ {\frac{{n\left( {n + 1}\right)}}{2}} \right]^2}[/TEX] hình chữ nhật, bài này có nhiều cách giải, chẳng hạn dùng nhận xét sau

Mỗi ô trên bàn cờ tương ứng có tọa độ [TEX](i,j),1 \le i,j \le n[/TEX] ta có nhận xét sau
Với 2 ô bất kỳ [TEX]\left\{ {(i,j);\left( {p,q} \right)} \right\}[/TEX] sẽ tương ứng với 1 hình chữ nhật, do đó có
[TEX]{n^4} = 4{A_1} + 2{A_2} + {A_3}[/TEX] trong đó
A1 là số các hình chữ nhật sao cho cả chiều dài và rộng của nó ko nhỏ hơn 2 ô (mỗi hình chữ nhật loại này bị lặp lại 4 lần)
A2 là số hình chữ nhật có độ dài không nhỏ hơn 2 ô và chiều rộng là 1 ô (mỗi hình chữ nhật loại này bị lặp lại 2 lần)
A3 là số hình vuông 1x1
Ta dễ dàng tính được
[TEX]\begin{array}{l}{A_2} = {n^2}\left( {n - 1} \right)\\{A_3} = {n^2}\end{array}[/TEX]
do đó
số hình chữ nhật bằng
[TEX]{A_1} + {A_2} + {A_3} = \frac{{{n^4} + 2{A_2} + 3{A_1}}}{4} =\frac{{{n^4} + 2{n^3} + {n^2}}}{4} = {\left[ {\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}} \right]^2}[/TEX]

giải thích cho em vì sao lại có được đoạn này : [TEX]{n^4} = 4{A_1} + 2{A_2} + {A_3}[/TEX]