Bài toán áp dụng bất đẳng thức Cauchy^^

[zuazin]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu 1: Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng:
$\frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}+\frac{b+c}{\sqrt{bc+a}}+\frac{c+a}{\sqrt{ca+b}}\geq 3$
Câu 2: Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn abc=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$P=\frac{1}{a^{2}+2b^{2}+3}+\frac{1}{b^{2}+2c^{2}+3}+\frac{1}{c^{2}+2a^{2}+3}$
Câu 3: Cho các số dương x,y,z thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng:
$\frac{\sqrt{1+x^{3}+y^{3}}}{xy}+\frac{\sqrt{1+y^{3}+z^{3}}}{yz}+\frac{\sqrt{1+z^{3}+x^{3}}}{zx}\geq 3\sqrt{3}$
Làm giúp mình với sắp kiểm tra học kỳ rồi! Cám ơn các bạn nhiều!
Facebook: kailozjtke

 

[soicon_boy_9x]

Câu 2 bạn viết lại đề nhé

Câu 1:

$\sum \dfrac{a+b}{\sqrt{ab+c}} =\sum \dfrac{a+b}{\sqrt{ab+c(a+b+c)}}=\sum \dfrac{a+b}{\sqrt{(a+c)(b+c)}} \geq 3$ (Cauchy 3 số )

Dấu $"="$ xảy ra $\leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}$

 

[soicon_boy_9x]

Câu 2:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy

$\sum \dfrac{1}{(a^2+b^2)+(b^2+1)+2} \leq \sum \dfrac{1}{2ab+2b+2}$

Vì $abc=1$ nên $\dfrac{1}{2ab+2b+2}=\dfrac{1}{2}$

Dấu $"="$ xảy ra $\leftrightarrow a=b=c=1$

 

[soicon_boy_9x]

Câu 3:

$\sum \dfrac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy} \geq \sum \dfrac{\sqrt{3xy}}{xy} \geq
\dfrac{3\sqrt[6]{27x^2y^2z^2}}{\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}=3\sqrt{3}$

Dấu $"="$ xảy ra $\leftrightarrow a=b=c=1$