Cho 3 số thực dương thay đổi a, b, c sao cho:
[TEX]$a + b + c = 3$[/TEX]
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
[TEX]$A = {\left( {a + b + c} \right)^2} + \left( {ab + bc + ca} \right)\left( {\frac{{1 + {a^2}b + {b^2}c + {c^2}a}}{{{a^2}b + {b^2}c + {c^2}a}}} \right) + \frac{{81}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) + abc}}$[/TEX]
Các bác cao thủ BĐT ơi, ra tay giúp mình nhé, biểu thức này nhìn muốn nổ con mắt @-) mà hok thấy gì 
|
Ủa, bài này mình post ở đây ko đúng rum hay sao mà ko có ai trợ giúp hết vậy ta . Các bạn cố gắng suy nghĩ hướng giải giúp mình nhé, thanks!
Bạn có thể làm theo hướng này:
Trước tiên, ta nhận thấy:
[tex]\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) + abc = 3\left( {ab + bc + ca} \right)\,,\,\,\,\left( 1 \right)[/tex]
[tex]9 = {\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right) \Rightarrow ab + bc + ca = \frac{{9 - \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{2}\,,\,\,\,\,\left( 2 \right)[/tex]
[tex]9 = {\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right)\, \le 3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 3\,,\,\,\,\left( 3 \right)[/tex]
[tex]{a^2}b + {b^2}c + {c^2}a \le \sqrt {\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \right)} [/tex]
[tex] = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\sqrt {\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left[ {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} + 2\left( {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \right)} \right]} [/tex]
[tex] \le \frac{1}{{\sqrt 3 }}\sqrt {\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left[ {{a^4} + {b^4} + {c^4} + 2\left( {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \right)} \right]} [/tex]
[tex] = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\sqrt {{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^3}} \,,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)[/tex]
[tex]\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{2} + \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{2} + \frac{{9\sqrt 3 }}{{2\sqrt {{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^3}} }} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{9\sqrt 3 {{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^2}}}{{8\sqrt {{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^3}} }}}}[/tex]
[tex] = \frac{3}{2}\sqrt[3]{{9\sqrt {3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)} }}[/tex]
[tex]\, \ge \frac{9}{2}\,\,,\,\,\,\left( {5} \right)[/tex]
Bạn làm tiếp theo thế này nhé:
Từ các điều trên, ta có:
[tex]A = 9 + ab + bc + ca + \frac{{ab + bc + ca}}{{{a^2}b + {b^2}c + {c^2}a}} + \frac{{27}}{{ab + bc + ca}}[/tex]
[tex]\, = 9 - 2\left( {ab + bc + ca} \right) + \frac{{ab + bc + ca}}{{{a^2}b + {b^2}c + {c^2}a}} + \frac{{27}}{{ab + bc + ca}} + 3\left( {ab + bc + ca} \right)[/tex]
[tex]\, = 9 - 9 + \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + \frac{1}{2}\frac{{9 - \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{{{a^2}b + {b^2}c + {c^2}a}} + \frac{{27}}{{ab + bc + ca}} + 3\left( {ab + bc + ca} \right)[/tex]
[tex] \ge 18 + \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + \frac{{9\sqrt 3 }}{{2\sqrt {{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^3}} }} - \frac{{\sqrt 3 \sqrt {{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^2}} }}{{2\sqrt {{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^3}} }}[/tex]
[tex] = 18 + \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + \frac{{9\sqrt 3 }}{{2\sqrt {{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^3}} }} - \frac{{\sqrt 3 }}{{2\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}[/tex]
[tex] = 18 + \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{2} + \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{2} + \frac{{9\sqrt 3 }}{{2\sqrt {{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^3}} }} - \frac{{\sqrt 3 }}{{2\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}[/tex]
[tex] \ge 18 + \frac{9}{2} - \frac{1}{2} = 22.[/tex]
Dấu [tex]"="[/tex] xảy ra khi và chỉ khi [tex]"a = b = c = 1"[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn