Toán 9 Bài tập

[Thảo Nguyễn ^ ^]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho 3 số dương x, y, z thoả mãn x + y + z[tex]\leq 3[/tex]
Tìm GTLN của biểu thức
P = [tex]\sqrt{1 + x^{2} } + \sqrt{1 + y^{2}} + \sqrt{1 + z^{^{2}}}[/tex] + 2([tex]\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z}[/tex] )
2. Cho x, y, z dương thoả mãn x + y + z = 6xyz
CMR [tex]\dfrac{yz}{x^3(z + 2y)} + \dfrac{zx}{y^{3}(x + 2z)} + \dfrac{xy}{z^{3}(y + 2x)^{2}}[/tex]
3. Giải hệ phương trình
[tex]\left\{\begin{matrix} x^{2} + xy^{2} - xy-y^{3} = 0& \\ 2(x^{2}+ 1) - 3\sqrt{x} (y+1) - y = 0 & \end{matrix}\right.[/tex]

 

[Darkness Evolution]

1. Cho 3 số dương x, y, z thoả mãn x + y + z[tex]\leq 3[/tex]
Tìm GTLN của biểu thức
P = [tex]\sqrt{1 + x^{2} } + \sqrt{1 + y^{2}} + \sqrt{1 + z^{^{2}}}[/tex] + 2([tex]\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z}[/tex] )

1) Có 2 BĐT phụ mà mình sẽ dùng, chứng minh không có gì là khó cả:
$a+b\leq \sqrt{2(a^2+b^2)};a+b+c\leq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$
Ta có $P= \sqrt{1 + x^{2} } + \sqrt{1 + y^{2}} + \sqrt{1 + z^{^{2}}} +\sqrt{2x} + \sqrt{2y} + \sqrt{2z} + (2-\sqrt{2})(\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z})$
$\leq \sqrt{2(1+x^2+2x)}+\sqrt{2(1+y^2+2y)}+\sqrt{2(1+z^2+2z)}+(2-\sqrt{2})\sqrt{3(x+y+z)}$
$=(x+1)\sqrt{2}+(y+1)\sqrt{2}+(z+1)\sqrt{2} +(2-\sqrt{2})\sqrt{3(x+y+z)}$
$=(x+y+z+3)\sqrt{2}+ (2-\sqrt{2})\sqrt{3(x+y+z)}$
$\leq (3+3)\sqrt{2}+ (2-\sqrt{2})\sqrt{3\cdot 3}$
$=6\sqrt{2}+3(2-\sqrt{2})=6+3\sqrt{2}$
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$

3. Giải hệ phương trình
[tex]\left\{\begin{matrix} x^{2} + xy^{2} - xy-y^{3} = 0(1)& \\ 2(x^{2}+ 1) - 3\sqrt{x} (y+1) - y = 0(2) & \end{matrix}\right.[/tex]

ĐKXĐ:$x \geq 0$
Phương trình (1) tương đương với $x(x+y^2)-y(x+y^2)=0$
$\Leftrightarrow (x-y)(x+y^2)=0$
$\Leftrightarrow x=y \vee x+y^2=0$
$+)x+y^2=0$
Vì cả $x$ và $y^2$ đều không nhỏ hơn $0$ nên $x=y^2=0$
$\Rightarrow x=y=0$. Thay vào (2) thấy không thỏa mãn (loại)
$+)x=y$
Thế vào phương trình (2), ta được $2(x^2+1)-3\sqrt{x}(x+1)-x=0$
Phân tích đa thức thành nhân tử thành $(x+\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-2)(2\sqrt{x}-1)=0$
Đến đây chắc tự làm tiếp được ha =)