bài tập về tổ hợp - các bài toán điển hình

[dautuan]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. trên các cạnh AB, BC, CD với hình vuông ABCD, lấy lần lượt 1, 2, 3 Và n điểm phân biệt khác các đỉnh của hình vuông. tìm n, biết sô tam giác có 3 đỉnh lấy từ n + 6 điểm đã cho là 439
2. cho 2n giác đều A1A2...A2n. tìm n biết rằng số tam giác có 3đỉnh lấy từ 2n đỉnh = 20 lần số hcn có 4đỉnh lấy từ 2n đỉnh tam giác
3. cho lục giác đều ABCDEF. Tính số tam giác có 3 đỉnh là giao các đường chéo của các đỉnh lục giác

 

[sasani]

2. cho 2n giác đều A1A2...A2n. tìm n biết rằng số tam giác có 3đỉnh lấy từ 2n đỉnh = 20 lần số hcn có 4đỉnh lấy từ 2n đỉnh tam giác

- Sô tam giác là: $C_{2n}^3$

-Số hình chữ nhật:
+ Đa giác đều 2n đỉnh có n đường chéo là đường kính của đường tròn ngoại tiếp.
+ Số hcn tạo được là: $C_n^2$

- Theo đề ta có:
$C_{2n}^3 = 20 * C_n^2$

Áp dụng công thức hệ thức Newton tìm n

Chúc bạn thành công!

 

[trang_dh]

1.Bài toán đếm số tam giác này được tuân theo nguyên tắc sau:
"Cứ 3 điểm không cùng nằm trên một cạnh ta có một tam giác"
Bởi vậy bài toán có thể chia thành 2 trường hợp sau đây:

TH1: Số đỉnh của tam giác chỉ lấy từ 2 cạnh bất kỳ.
Ta ký hiệu AB(1) nghĩa là cạnh AB có 1 điểm..tương tự cho các cạnh khác và ta có số tam giác là:

\[\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{AB\left( 1 \right)}}{{AD\left( n \right)}} = C_n^2\,;\,\frac{{AB\left( 2 \right)}}{{AD\left( n \right)}} = C_n^1 + 2C_n^2 = n + 2C_n^2;\,\frac{{AB\left( 3 \right)}}{{AD\left( n \right)}} = 3C_n^1 + 3C_n^2 = 3n + 3C_n^2\\
\frac{{AB\left( 1 \right)}}{{AD\left( 2 \right)}} = 1\,;\frac{{AB\left( 1 \right)}}{{AD\left( 3 \right)}} = 3;\frac{{AB\left( 2 \right)}}{{AD\left( 3 \right)}} = 2C_3^2 + 3C_2^2 = 6 + 3 = 9
\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow {S_1} = 6C_n^2 + 4n + 13\]

TH2: Số đỉnh của tam giác lấy từ 3 cạnh bất kỳ khi đó ta có:
[TEX] AB\left( 1 \right).BC\left( 2 \right).AD\left( n \right) = 1.2.n = 2n\\AB\left( 1 \right).DC\left( 3 \right).AD\left( n \right) = 1.3.n = 3n\\BC\left( 2 \right).DC\left( 3 \right).AD\left( n \right) = 2.3.n = 6n\\AB\left( 1 \right).BC\left( 2 \right).DC\left( 3 \right) = 1.2.3 = 6 \Rightarrow {S_1} = 11n + 6\[/TEX]

Khi đó ta có:

[TEX]S = {S_1} + {S_2} = 6C_n^2 + 4n + 13 + 11n + 6 = 439[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 3n\left( {n - 1} \right) + 15n + 19 = 439[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 3{n^2} + 12n - 420 = 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow n = 10[/TEX] hoặc [TEX]n=-14[/TEX]