Bài tập về tam giác đồng dạng

[truongdung43]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.Tam giác ABC cân tại A có BC=2a, M là trung điểm BC. Lấy các điểm D,E theo thứ tự thuộc các cạnh AB,AC sao cho góc DME = góc B.
a. Chứng minh rằng tích BD.CE không đổi
b. Chứng minh rằng DM là tia phân giác góc BDE.
c. Tính chu vi tam giác AED nếu tam giác ABC là tam giác đều.

2. Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. lấy điểm G thuộc cạnh BC, điểm H thuộc cạnh CD sao cho góc GOH = 45. Gọi M là trung điểm AB, chứng minh:
a.Tam giác HOD đồng dạng với tam giác OGB.
b.MG song song với AH.

3.Cho tam giác ABC có hai đường cao BB', CC' cắt nhau tại H. Các đường thẳng vuông góc với AB, AC tại A cắt BB', CC' theo thứ tự tại M,N. MN cắt AH tại D. Kẻ trung tuyến AI của tam giác ABC.
a.Chứng minh tứ giác AMHN là hình bình hành.
b.Chứng minh tam giác AMD đồng dạng tam giác ABI.
c.Gọi K là giao điểm của AI và MN, Chứng minh AI vuông góc MN.

 

[thaolovely1412]

Bài 1. a)
Ta có: [TEX]\widehat{DME}+\widehat{DMB}+\widehat{EMC}=180^o[/TEX]
[tex]\large\Delta[/tex] DMB có: [TEX]\widehat{DMB}+\widehat{B}+\widehat{MDB}=180^o[/TEX]
mà [TEX]\widehat{B}=\widehat{DME}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\widehat{EMC}=\widehat{MDB}[/TEX]
[tex]\large\Delta[/tex]BDM và [tex]\large\Delta[/tex]CME có:
[TEX]\hat{B}=\hat{C}[/TEX] ([tex]\large\Delta[/tex] ABC cân tại A)
[TEX]\widehat{EMC}=\widehat{MDB}[/TEX]
\Rightarrow [tex]\large\Delta[/tex]BDM [TEX]\sim\[/TEX] [tex]\large\Delta[/tex]CME (g.g)
\Rightarrow [TEX]\frac{BD}{CM}=\frac{BM}{CE}[/TEX]
Mà BM=CM \Rightarrow [TEX]BD.CE=BM.CM=BM^2 [/TEX]
mà điểm B, M là cố định \Rightarrow độ dài BM không đổi \Rightarrow BD.CEkhông đổi
b) Ta có: [tex]\large\Delta[/tex]BDM [TEX]\sim\[/TEX] [tex]\large\Delta[/tex]CME(Cmt)
\Rightarrow [TEX]\frac{DM}{ME}=\frac{DB}{CM}=\frac{DB}{BM}[/TEX](do CM=BM)
[tex]\large\Delta[/tex]BDM và [tex]\large\Delta[/tex]MDE có:
[TEX]\hat{B}=\widehat{DME}[/TEX]
[TEX]\frac{DM}{ME}=\frac{DB}{BM}[/TEX]
\Rightarrow [tex]\large\Delta[/tex]BDM [TEX]\sim\[/TEX] [tex]\large\Delta[/tex]MDE (c.g.c)
\Rightarrow [TEX]\widehat{BDM}=\widehat{MDE}[/TEX]
\Rightarrow DM là tia phân giác góc BDE

 

[thaolovely1412]

2. a.Tam giác HOD đồng dạng với tam giác OGB
Vì ABCD là hình vuông nên BD là phân giác [TEX]\widehat{ABC}[/TEX] và [TEX]\widehat{ADC}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\widehat{OBG}=\widehat{ODH}=45^o[/TEX]
Ta có: [TEX]\widehat{BOG}+\widehat{GOH}+\widehat{HOD}=180^o[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\widehat{BOG}+\widehat{HOD}=180^o-45^o=135^o [/TEX](1)
[tex]\large\Delta[/tex] BOG có: [TEX]\widehat{BOG}+\widehat{OBG}+\widehat{BGO}=180^o[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\widehat{BOG}+\widehat{BGO}=180^o-45^o=135^o[/TEX] (2)
Từ (1) và (2) \Rightarrow[TEX] \widehat{HOD}=\widehat{BGO}[/TEX]
[tex]\large\Delta[/tex] BOG và [tex]\large\Delta[/tex] DHO có:
[TEX] \widehat{HOD}=\widehat{BGO}[/TEX] (cmt)
[TEX]\widehat{OBG}=\widehat{HDO}=45^o[/TEX]
\Rightarrow [tex]\large\Delta[/tex] BOG [TEX]\sim\[/TEX] [tex]\large\Delta[/tex] DHO (g.g)
b.MG song song với AH.
\Rightarrow [tex]\large\Delta[/tex] BOG [TEX]\sim\[/TEX] [tex]\large\Delta[/tex] DHO
\Rightarrow [TEX]\frac{HD}{GB} = \frac{OD}{GB}[/TEX] (3)
Đặt BM=a \Rightarrow[TEX] AD=AB=2.BM=2a[/TEX]
[tex]\large\Delta[/tex] AOB có: [TEX]\widehat{BOA}=90^o [/TEX]
\Rightarrow [TEX]AB^2=BO^2+AO^2=2.AO^2[/TEX]
\Rightarrow [TEX]AO^2=\frac{AB^2}{2}=\frac{4BM^2}{2}=2BM^2[/TEX]
\Rightarrow [TEX]AO=BM.\sqrt{2}=a.\sqrt{2}[/TEX]
mà OA=OB=OC=OD nên [TEX]OB=OD=a.\sqrt{2}[/TEX]
Từ (3) \Rightarrow [TEX]HD.GB=OB.OD=a\sqrt{2}.a\sqrt{2}=2a.a = AD.BM [/TEX]
\Rightarrow [TEX]\frac{HD}{AB}=\frac{BM}{BG}=\frac{HD}{AD}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\Delta AHD[/TEX] [TEX]\sim[/TEX] [TEX]\Delta GMB (c.g.c)[/TEX]
Rightarrow [TEX]\hat{AHD}=\hat{GMB}[/TEX]
\Rightarrow[TEX] \hat{HAB}=\hat{GMB}[/TEX]
\Rightarrow MG//AH

 

[kienthuc_toanhoc]

1.Tam giác ABC cân tại A có BC=2a, M là trung điểm BC. Lấy các điểm D,E theo thứ tự thuộc các cạnh AB,AC sao cho góc DME = góc B.
a. Chứng minh rằng tích BD.CE không đổi
b. Chứng minh rằng DM là tia phân giác góc BDE.
c. Tính chu vi tam giác AED nếu tam giác ABC là tam giác đều.
Bài làm
a)Ta Xét trong tam giác EMC có :$\widehat{EMC}$+$\widehat{MEC}$+$\hat{C}$=$180^o$
Ta có $\widehat{EMC}$+$\widehat{DME}$+$\widehat{DMB}$+$180^o$
Mà $\widehat{DME}$=$\hat{C}$(do $\widehat{DME}$=$\hat{B}$ mà $\hat{B}$=$\hat{C}$(gt))
=>$\widehat{MEC}$=$\widehat{DMB}$
Xét tam giác BMC và tam giác CEM có:
$\hat{B}$=$\hat{C}$(gt)
$\widehat{MEC}$=$\widehat{DMB}$(c/m trên)
=>Tam giác BMC đồng dạng với tam giác CEM(g.g)
Ta có BM=MC=a
Ta có $\dfrac{DB}{MC}$=$\dfrac{BM}{EC}$
=>$\dfrac{BD}{a}$=$\dfrac{a}{EC}$
=>BD.EC=$a^2$ do a cố định nên tích BD.EC không đổi.
b)Ta có tam giác BMC đồng dạng với tam giác CEM(c/m trên)
=>$\dfrac{DM}{MB}$=$\dfrac{EM}{EC}$
Mà MB=MC => $\dfrac{DM}{MC}$=$\dfrac{EM}{EC}$
Xét tam giác MED và tam giác CEM có $\widehat{DEM}$=$\hat{C}$ và $\dfrac{DM}{MC}$=$\dfrac{EM}{EC}$(c/m trên)
=>Tam giác MED đồng dạng với tam giác CEM(c.g.c)
=>Tam giác MED đồng dạng tam giác BMC(theo tính chất bắc cầu)
=>$\widehat{BDM}$=$\widehat{MDE}$
=>DM là phân giác của $\widehat{BDE}$

 

[truongdung43]

2. a.Tam giác HOD đồng dạng với tam giác OGB
Vì ABCD là hình vuông nên BD là phân giác [TEX]\widehat{ABC}[/TEX] và [TEX]\widehat{ADC}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\widehat{OBG}=\widehat{ODH}=45^o[/TEX]
Ta có: [TEX]\widehat{BOG}+\widehat{GOH}+\widehat{HOD}=180^o[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\widehat{BOG}+\widehat{HOD}=180^o-45^o=135^o [/TEX](1)
[tex]\large\Delta[/tex] BOG có: [TEX]\widehat{BOG}+\widehat{OBG}+\widehat{BGO}=180^o[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\widehat{BOG}+\widehat{BGO}=180^o-45^o=135^o[/TEX] (2)
Từ (1) và (2) \Rightarrow[TEX] \widehat{HOD}=\widehat{BGO}[/TEX]
[tex]\large\Delta[/tex] BOG và [tex]\large\Delta[/tex] DHO có:
[TEX] \widehat{HOD}=\widehat{BGO}[/TEX] (cmt)
[TEX]\widehat{OBG}=\widehat{HDO}=45^o[/TEX]
\Rightarrow [tex]\large\Delta[/tex] BOG [TEX]\sim\[/TEX] [tex]\large\Delta[/tex] DHO (g.g)
b.MG song song với AH.
\Rightarrow [tex]\large\Delta[/tex] BOG [TEX]\sim\[/TEX] [tex]\large\Delta[/tex] DHO
\Rightarrow [TEX]\frac{HD}{GB} = \frac{OD}{GB}[/TEX] (3)
Đặt BM=a \Rightarrow[TEX] AD=AB=2.BM=2a[/TEX]
[tex]\large\Delta[/tex] AOB có: [TEX]\widehat{BOA}=90^o [/TEX]
\Rightarrow [TEX]AB^2=BO^2+AO^2=2.AO^2[/TEX]
\Rightarrow [TEX]AO^2=\frac{AB^2}{2}=\frac{4BM^2}{2}=2BM^2[/TEX]
\Rightarrow [TEX]AO=BM.\sqrt{2}=a.\sqrt{2}[/TEX]
mà OA=OB=OC=OD nên [TEX]OB=OD=a.\sqrt{2}[/TEX]
Từ (3) \Rightarrow [TEX]HD.GB=OB.OD=a\sqrt{2}.a\sqrt{2}=2a.a = AD.BM [/TEX]
\Rightarrow [TEX]\frac{HD}{AB}=\frac{BM}{BG}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\Delta AHB[/TEX] [TEX]\sim[/TEX] [TEX]\Delta GMC (c.g.c)[/TEX]
Rightarrow [TEX]\hat{AHB}=\hat{GMB}[/TEX]
\Rightarrow[TEX] \hat{HAB}=\hat{GMB}[/TEX]
\Rightarrow MG//AH

Tại sao tam giác AHB đồng dạng tam giác GMC lại suy ra được góc AHB = góc GMB vậy ?