3. Nhiều khả năng sai đề nha bạn. Ngoài nghiệm tầm thường x = y = z = 0 thì còn có 1 bộ hoán vị mà số lẻ nữa.
4. Từ phương trình 1 ta thấy x,y,z cùng dấu và từ phương trình 2 ta thấy nếu x,y,z dương thì x,y,z âm cũng thỏa mãn nên ta chỉ xét x,y,z dương.
Ta có: [tex]3(x+\frac{1}{x})=4(y+\frac{1}{y})=5(z+\frac{1}{z}) \Leftrightarrow 3.\frac{x^2+1}{x}=4.\frac{y^2+1}{y}=5.\frac{z^2+1}{z} \Leftrightarrow \frac{3(x^2+xy+yz+zx)}{x}=\frac{4(y^2+xy+yz+zx)}{y}=\frac{5(z^2+xy+yz+zx)}{z} \Leftrightarrow \frac{3(x+y)(x+z)}{x}=\frac{4(y+z)(x+y)}{y}=\frac{5(x+z)(y+z)}{z} \Leftrightarrow \frac{3(x+y)(y+z)(z+x)}{xy+xz}=\frac{4(x+y)(y+z)(z+x)}{xy+yz}=\frac{5(x+y)(y+z)(z+x)}{xz+yz} \Leftrightarrow \frac{3}{1-yz}=\frac{4}{1-zx}=\frac{5}{1-xy} \Leftrightarrow 4(1-yz)=3(1-zx),3(1-xy)=5(1-yz) \Leftrightarrow xz=\frac{4yz-1}{3},xy=\frac{5yz-2}{3} \Rightarrow 1=xy+yz+zx=\frac{5yz-2}{3}+yz+\frac{4yz-1}{3} \Rightarrow 4yz=2 \Rightarrow yz=\frac{1}{2} \Rightarrow xy=\frac{1}{6},xz=\frac{1}{3} \Rightarrow \frac{y}{z}=\frac{xy}{xz}=\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{2}=yz=\frac{1}{2}z^2 \Rightarrow z^2=1 \Rightarrow z=1 \Rightarrow x=\frac{1}{3},y=\frac{1}{2}[/tex]
Vậy [tex](x,y,z)=(\frac{1}{3},\frac{1}{2},1);(-\frac{1}{3},-\frac{1}{2},-1)[/tex]
5. Dễ thấy [tex]y \geq 2 > 0[/tex]
Ta thấy: [tex]x\sqrt{12-y} \leq |x|\sqrt{12-y} \leq \frac{x^2+12-y}{2},\sqrt{y(12-x^2)} \leq \frac{y+12-x^2}{2} \Rightarrow x\sqrt{12-y}+\sqrt{y(12-x^2)} \leq \frac{x^2+12-y}{2}+\frac{y+12-x^2}{2}=12[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi [tex]\left\{\begin{matrix} y=12-x^2\\ x^2=12-y \end{matrix}\right.\Leftrightarrow y=12-x^2[/tex]
Từ phương trình 2 ta có: [tex]x^3-8x-1=2\sqrt{10-x^2} \Rightarrow x^3-8x-3=\sqrt{40-4x^2}-2 \Rightarrow (x-3)(x^2+3x+1)=\frac{36-4x^2}{\sqrt{40-4x^2+2}} \Rightarrow (x-3)(x^2+3x+1)+\frac{4(x-3)(x+3)}{\sqrt{40-4x^2+2}}=0 \Rightarrow (x-3)(x^2+3x+1+\frac{4(x+3)}{\sqrt{40-4x^2+2}})=0 \Rightarrow x=3 \Rightarrow y=3[/tex]
6. [tex]\left\{\begin{matrix} 1+\frac{1}{x+y}=\frac{2}{\sqrt{3x}}\\ 1-\frac{1}{x+y}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{7y}} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1=\frac{1}{2}(\frac{2}{\sqrt{3x}}+\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{7y}})=\frac{1}{\sqrt{3x}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{7y}}\\ \frac{1}{x+y}=frac{1}{2}(\frac{2}{\sqrt{3x}}-\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{7y}})=\frac{1}{\sqrt{3x}}-\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{7y}} \end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{1}{x+y}=\frac{1}{x+y}.1=(\frac{1}{\sqrt{3x}}-\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{7y}})(\frac{1}{\sqrt{3x}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{7y}})=\frac{1}{3x}-\frac{8}{7y}=\frac{7y-24x}{21xy}\Rightarrow 21xy=(7y-24x)(x+y)=7y^2-17xy-24x^2\Rightarrow 24x^2+38x-7y^2=0\Leftrightarrow (6x-y)(4x+7y)=0[/tex]
Vì [tex]x,y > 0[/tex] nên [tex]6x=y[/tex]. Từ đó thay lại hệ ban đầu thu được phương trình ẩn x.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
