- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,706
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Phương pháp:
Khoảng cách giữa 2 điểm A,B ( độ dài đoạn thẳng AB) :
[tex]AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}[/tex]
Khoảng cách từ 1 điểm A(a,b) đến đường thẳng (d):[TEX]Ax+By+C=0[/TEX]:
[tex]d(A;d)=\frac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}[/tex]
Bài minh họa:
1. Cho hàm số: [tex]f(x)=\frac{x+1}{x-1}[/tex] có đồ thị (C), và đường thẳng (d):[TEX]2x-y+m=0[/TEX]
Biết rằng (C) luôn cắt (d) tại 2 điểm phân biệt A,B. Tìm m để độ dài A,B là ngắn nhất.
Giải:
ĐK: [TEX]x \neq 1[/TEX]
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):
[tex]\frac{x+1}{x-1}=2x+m<=>(2x+m)(x-1)=x+1<=>2x^2+(m-3)x-(m+1)=0[/tex] (1)
Gọi [TEX]x_1,x_2[/TEX] là 2 nghiệm của pt (1)
=> Tọa độ của A và B là : [TEX]A(x_1;2x_1+m),B(x_2;2x_2+m)[/TEX] ( tọa độ y của A,B tính theo (d) chứ không phải theo (C), bởi vì tính theo d thì biểu thức của y rất đơn giản )
=>[tex]AB^2=(x_1-x_2)^2+((2x_1+m)-(2x_2+m))^2=5(x_1-x_2)^2=5(x_1+x_2)^2-20x_1x_2[/tex](2)
Đưa về biểu thức mà chỉ xuất hiện [TEX]x_1+x_2,x_1x_2[/TEX] để ta có thể áp dụng Vi-ét để thay m vào và biện luận.
Áp dụng Vi-ét:
[tex]\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{3-m}{2}\\ x_1x_2=\frac{-(m+1)}{2} \end{matrix}\right.[/tex]
Thay hệ thức vào (2) ta có:
[tex]5(\frac{3-m}{2})^2-20\frac{-(m+1)}{2}=\frac{5}{4}(m^2-6m+9)+10(m+1)=\frac{5}{4}m^2+\frac{5}{2}m+\frac{85}{4}[/tex][tex]=\frac{5}{4}(m^2+2m+17)=\frac{5}{4}[(m+1)^2+16]\geq 20[/tex]
Dấu "=" khi m=-1.
Vậy m=-1 là giá trị cần tìm.
2. Cho hàm số: [tex]y=3x^3-9x^2+3(2m-1)x+9m[/tex]. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu, đồng thời khoảng cách từ điểm A(1;1) đến đường thẳng này bằng 3.
Giải:
[TEX]y'=9x^2-18x+3(2m-1)[/TEX]
Để hàm số có 2 CT thì pt y'=0 phải có 2 nghiệm phân biệt.
=>[tex]\Delta > 0<=>81-27(m-1)>0<=>m<4[/tex]
Để có thể tính được khoảng cách, ta phải có được pt đường thẳng d đi qua 2 điểm cực trị của hàm.
Công thức tìm pt đường thẳng qua 2 điểm cực trị của hàm bậc 3 là:
Chia đa thức y cho y' lấy phần dư:
[tex]\frac{3x^3-9x^2+3(2m-1)x+9m}{9x^2-18x+3(2m-1)}=\frac{x}{3}-\frac{1}{3}+\frac{(4m-8)x+3m+3}{9x^2-18x+3(2m-1)}[/tex]
=> pt đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là: [tex]y=(4m-8)x+3m+3<=>(4m-8)x+3m+3-y=0[/tex]
Áp dụng công thức khoảng cách:
[tex]d(A;d)=\frac{|4m-8-1+3m+3|}{\sqrt{(4m-8)^2+1}}=\frac{|7m-6|}{\sqrt{(4m-8)^2+1}}[/tex]
[tex]d(A;d)=3<=>\frac{|7m-6|}{\sqrt{(4m-8)^2+1}}=3<=>(7m-6)^2=9[(4m-8)^2+1][/tex]
<=> [tex]m=\frac{-3}{35}(\sqrt{929}-82);m=\frac{3}{35}(\sqrt{929}+82)[/tex]
Khoảng cách giữa 2 điểm A,B ( độ dài đoạn thẳng AB) :
[tex]AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}[/tex]
Khoảng cách từ 1 điểm A(a,b) đến đường thẳng (d):[TEX]Ax+By+C=0[/TEX]:
[tex]d(A;d)=\frac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}[/tex]
Bài minh họa:
1. Cho hàm số: [tex]f(x)=\frac{x+1}{x-1}[/tex] có đồ thị (C), và đường thẳng (d):[TEX]2x-y+m=0[/TEX]
Biết rằng (C) luôn cắt (d) tại 2 điểm phân biệt A,B. Tìm m để độ dài A,B là ngắn nhất.
Giải:
ĐK: [TEX]x \neq 1[/TEX]
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):
[tex]\frac{x+1}{x-1}=2x+m<=>(2x+m)(x-1)=x+1<=>2x^2+(m-3)x-(m+1)=0[/tex] (1)
Gọi [TEX]x_1,x_2[/TEX] là 2 nghiệm của pt (1)
=> Tọa độ của A và B là : [TEX]A(x_1;2x_1+m),B(x_2;2x_2+m)[/TEX] ( tọa độ y của A,B tính theo (d) chứ không phải theo (C), bởi vì tính theo d thì biểu thức của y rất đơn giản )
=>[tex]AB^2=(x_1-x_2)^2+((2x_1+m)-(2x_2+m))^2=5(x_1-x_2)^2=5(x_1+x_2)^2-20x_1x_2[/tex](2)
Đưa về biểu thức mà chỉ xuất hiện [TEX]x_1+x_2,x_1x_2[/TEX] để ta có thể áp dụng Vi-ét để thay m vào và biện luận.
Áp dụng Vi-ét:
[tex]\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{3-m}{2}\\ x_1x_2=\frac{-(m+1)}{2} \end{matrix}\right.[/tex]
Thay hệ thức vào (2) ta có:
[tex]5(\frac{3-m}{2})^2-20\frac{-(m+1)}{2}=\frac{5}{4}(m^2-6m+9)+10(m+1)=\frac{5}{4}m^2+\frac{5}{2}m+\frac{85}{4}[/tex][tex]=\frac{5}{4}(m^2+2m+17)=\frac{5}{4}[(m+1)^2+16]\geq 20[/tex]
Dấu "=" khi m=-1.
Vậy m=-1 là giá trị cần tìm.
2. Cho hàm số: [tex]y=3x^3-9x^2+3(2m-1)x+9m[/tex]. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu, đồng thời khoảng cách từ điểm A(1;1) đến đường thẳng này bằng 3.
Giải:
[TEX]y'=9x^2-18x+3(2m-1)[/TEX]
Để hàm số có 2 CT thì pt y'=0 phải có 2 nghiệm phân biệt.
=>[tex]\Delta > 0<=>81-27(m-1)>0<=>m<4[/tex]
Để có thể tính được khoảng cách, ta phải có được pt đường thẳng d đi qua 2 điểm cực trị của hàm.
Công thức tìm pt đường thẳng qua 2 điểm cực trị của hàm bậc 3 là:
Chia đa thức y cho y' lấy phần dư:
[tex]\frac{3x^3-9x^2+3(2m-1)x+9m}{9x^2-18x+3(2m-1)}=\frac{x}{3}-\frac{1}{3}+\frac{(4m-8)x+3m+3}{9x^2-18x+3(2m-1)}[/tex]
=> pt đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là: [tex]y=(4m-8)x+3m+3<=>(4m-8)x+3m+3-y=0[/tex]
Áp dụng công thức khoảng cách:
[tex]d(A;d)=\frac{|4m-8-1+3m+3|}{\sqrt{(4m-8)^2+1}}=\frac{|7m-6|}{\sqrt{(4m-8)^2+1}}[/tex]
[tex]d(A;d)=3<=>\frac{|7m-6|}{\sqrt{(4m-8)^2+1}}=3<=>(7m-6)^2=9[(4m-8)^2+1][/tex]
<=> [tex]m=\frac{-3}{35}(\sqrt{929}-82);m=\frac{3}{35}(\sqrt{929}+82)[/tex]