Cho đường tròn( O ) đường kính AB. Gọi I là trung điểm AO. Qua I ve dây cung MN vuông góc với AB. Ve đường tròn ( O' ) đường kính OB, đường tròn nay cắt MB tai K.
a/ Tính MA theo R
b/ CMR: N, O, K thẳng hàng
c/ CMR: IK la tiếp tuyến của đường tròn ( O')
a) Ta có BMA=90o => MA2=AI.AB=21R.2R=R2
b) Dễ chứng minh OK // AM (1)
Do I là trung điểm OA và MN ⊥ OA => ONAM là hình thoi => ON // AM (2)
Qua O có tới 2 đường song song với AM <=> 2 đường này là 1 (tiên đề Euclide), như vậy O, N, K thẳng hàng
c)Ta cũng chỉ cần chứng minh tam giác O'KI vuông tại K.
Dễ thấy:
O'K = 21R
2 tam giác OKB và tam giác AMB đồng dạng (dễ chứng minh), Nếu có I là trung điểm OA thì cũng có I' là trung điểm O'O và KI vuông góc OB
Dễ thấy: O'B = OI = 21R, O'I' = I'O = 41R => tam giác KBI cân tại K (đường cao KI' đồng thời là trung tuyến đối với BI) => KB = KI
KB = 21BM=21AB2−AM2=21R3
O'I = R
Ta có KO′2+KI2=(21.R)2+(23R)2=O′I2=R2, từ đó suy ra O'KI vuông tại K => đpcm