Bài tập về dây và khoảng cách giữa tâm đến dây

[yeahman]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC. Đường tròn (M) đường kính AB và đường tròn (N) đường kính AC cắt nhau tại H
a. CM AH vuông góc BC
b. Chứng minh 4 điểm A,H,M,N cùng thuộc 1 đường tròn
c. Tia phân giác của góc HAC cắt BC tại E và cắt đường tròn (N) tại D. Chứng minh [TEX]DA.DE=DC^2[/TEX]

 

[harrypham]

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC. Đường tròn (M) đường kính AB và đường tròn (N) đường kính AC cắt nhau tại H
a. CM AH vuông góc BC
b. Chứng minh 4 điểm A,H,M,N cùng thuộc 1 đường tròn
c. Tia phân giác của góc HAC cắt BC tại E và cắt đường tròn (N) tại D. Chứng minh [TEX]DA.DE=DC^2[/TEX]

Lời giải. a) Vì [TEX]MH= \frac 12 AB[/TEX] nên [TEX]\triangle ABH[/TEX] vuông tại [TEX]H[/TEX]. Tương tự [TEX]\triangle AHC[/TEX] vuông tại [TEX]H[/TEX].
Vậy [TEX]AH \perp HC, AH \perp HB[/TEX] nên [TEX]B,C,H[/TEX] thẳng hàng dẫn đến [TEX]AH \perp BC[/TEX].
b) Ta có [TEX]\angle MHB = \angle MBH[/TEX] và [TEX]\angle NHC = \angle NCH[/TEX] nên [TEX]\angle MHN=90^{\circ}= \angle MAN[/TEX]. Vậy tứ giác [TEX]MHNA[/TEX] nội tiếp nên bốn điểm [TEX]A,H,M,N[/TEX] cùng thuộc đường tròn.
c) Vì [TEX]D \in (N; \frac{AC}{2})[/TEX] nên [TEX]\triangle ADC[/TEX] vuông tại [TEX]D[/TEX]. Xét [TEX]\triangle HAE[/TEX] và \[TEX]\triangle DEC[/TEX] suy ra [TEX]\widehat{AEA}= \widehat{DEC}[/TEX]. Từ đó [TEX]\triangle EDC \sim \triangle CDA \; (\text{g.g})[/TEX] nên [TEX]DC^2= AD \cdot DE[/TEX].

 

[yeahman]

Lời giải. a) Vì [TEX]MH= \frac 12 AB[/TEX] nên [TEX]\triangle ABH[/TEX] vuông tại [TEX]H[/TEX]. Tương tự [TEX]\triangle AHC[/TEX] vuông tại [TEX]H[/TEX].
Vậy [TEX]AH \perp HC, AH \perp HB[/TEX] nên [TEX]B,C,H[/TEX] thẳng hàng dẫn đến [TEX]AH \perp BC[/TEX].
b) Ta có [TEX]\angle MHB = \angle MBH[/TEX] và [TEX]\angle NHC = \angle NCH[/TEX] nên [TEX]\angle MHN=90^{\circ}= \angle MAN[/TEX]. Vậy tứ giác [TEX]MHNA[/TEX] nội tiếp nên bốn điểm [TEX]A,H,M,N[/TEX] cùng thuộc đường tròn.
c) Vì [TEX]D \in (N; \frac{AC}{2})[/TEX] nên [TEX]\triangle ADC[/TEX] vuông tại [TEX]D[/TEX]. Xét [TEX]\triangle HAE[/TEX] và \[TEX]\triangle DEC[/TEX] suy ra [TEX]\widehat{AEA}= \widehat{DEC}[/TEX]. Từ đó [TEX]\triangle EDC \sim \triangle CDA \; (\text{g.g})[/TEX] nên [TEX]DC^2= AD \cdot DE[/TEX].

Em chưa học tứ giác nội tiếp, vậy có cách nào chứng minh câu b khác ko ạ?