Toán 8 Bài tập về đa thức

[AlexisBorjanov]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho P(x) là một đa thức với các hệ số nguyên thỏa mãn P(0)=1, P(1)=2, P(-1)=1. Chứng minh rằng đa thức P(x) không có nghiệm nguyên
2. Cho P(x) là một đa thức có hệ số nguyên thỏa mãn P(0) và P(1) cùng lẻ. Chứng minh rằng đa thức P(x) không có nghiệm nguyên.
3. Cho P(x) là một đa thức có hệ số nguyên thỏa mãn P(1)=-4, P(2)=2, P(a)=[tex]a^{2}[/tex] với mọi số nguyên a. Chứng minh đa thức P(x) có ít nhất 1 nghiệm nguyên.
Mọi người giúp em được đến đâu tốt đến đó, được vậy là rất quý rồi ạ! Em xin chân thành cảm ơn!

 

[Lê Tự Đông]

2. Cho P(x) là một đa thức có hệ số nguyên thỏa mãn P(0) và P(1) cùng lẻ. Chứng minh rằng đa thức P(x) không có nghiệm nguyên.

Giả sử P(x) có nghiệm nguyên là a. Khi đó tồn tại đa thức G(x) sao cho P(x)=G(x).(x-a)
=> $P(0)=G(0).(-a)$ lẻ => -a lẻ => a lẻ (*)
$P(1)=G(1).(1-a)$ lẻ => 1-a lẻ => a chẵn trái với (*)
Vậy giả thuyết sai
=> đpcm

 

[7 1 2 5]

Gọi [TEX]a_1,a_2,...,a_n,a_{n+1}[/TEX] là các hệ số của đa thức P(x) (bậc từ n tới hệ số tự do)
1. Ta có: [TEX]a_{n+1}=1,a_1+a_2+...+a_n=1,(-1)^na_1+(-1)^{n-1}a_2+...-a_n=0[/TEX]
Dễ thấy [TEX](-1)^na_1+(-1)^{n-1}a_2+...-a_n \equiv a_1+a_2+...+a_n(mod 2)[/TEX] nên từ giả thiết ta thấy vô lí.
3. Đề hơi vô lí nhỉ. [TEX]P(a)=a^2[/TEX] với mọi số nguyên a rồi mà?

 

[AlexisBorjanov]

Gọi [TEX]a_1,a_2,...,a_n,a_{n+1}[/TEX] là các hệ số của đa thức P(x) (bậc từ n tới hệ số tự do)
1. Ta có: [TEX]a_{n+1}=1,a_1+a_2+...+a_n=1,(-1)^na_1+(-1)^{n-1}a_2+...-a_n=0[/TEX]
Dễ thấy [TEX](-1)^na_1+(-1)^{n-1}a_2+...-a_n \equiv a_1+a_2+...+a_n(mod 2)[/TEX] nên từ giả thiết ta thấy vô lí.
3. Đề hơi vô lí nhỉ. [TEX]P(a)=a^2[/TEX] với mọi số nguyên a rồi mà?

Không tính a=1 và a=2 ạ.

 

[AlexisBorjanov]

À em nhầm, cho em chữa lại đề là [tex]P(a)=a^{2}[/tex] với một số nguyên a thôi ạ.

 

[7 1 2 5]

À em nhầm, cho em chữa lại đề là [tex]P(a)=a^{2}[/tex] với một số nguyên a thôi ạ.

Vậy có a = 0 là nghiệm rồi mà?

 

[AlexisBorjanov]

Vậy có a = 0 là nghiệm rồi mà?

Thế mà em không nhìn ra (( Nhưng em nghĩ chắc đề hơi sai ạ, chứ nếu không thì lại thừa dữ kiện.

 

[AlexisBorjanov]

Mình chứng minh được là a = 0 thì ok ạ. Nhưng hình như bài này em nghĩ là dùng tính chất P(a)-P(b) chia hết cho a-b ạ.