Toán 8 Bài tập về chia hết

[Nguyễn Trí]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)Tìm số tự nhiên n để : [tex]2^{2n} +2^n +1 \vdots 7[/tex]
2) Chứng minh: a) A= [tex]n^5 -n\vdots 30[/tex] với [tex]n\epsilon N[/tex]
b) [tex]B=10^n +18n -28 \vdots 27[/tex] với [tex]n\epsilon N[/tex]
c) [tex]C=n^7 -n \vdots 7[/tex] với [tex]n\epsilon N[/tex]
3) Chứng minh: [tex]A=1^3+2^3+3^3+...+100^3[/tex] chia hết cho [tex]B=1+2+3+...+100[/tex]
4) cho [tex]S=1^n +2^n +3^n+...+8^n[/tex]. Tìm số dư khi chia S cho 5(với n lẻ)

 

[quynhphamdq]

3. Ta có :
[TEX]A= 1^3+2 ^3 +3^3 +...+n^3 =\frac{n^2(n+1)^2}{4}[/TEX] (1)
Chứng minh đẳng thức trên theo quy nạp :

• Với n=1 , ta có (1) đúng .
• Giả sử (1) đúng với[TEX] n=k ,k\in N^* \Rightarrow 1^3+2^3+...k^3=\frac{k^2(k+1)^2}{4}[/TEX] ta chứng minh (1) đúng với [TEX]n=k+1[/TEX]

ta có :[TEX]1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3=\frac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3 =\frac{(k+1)^2}{4}( k^2+4k+1)=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}[/TEX]

=> đpcm

=> [TEX]A=1^3+2 ^3 +3^3 +...+100^3 =\frac{100^2(100+1)^2}{4}= ( \frac{100(100+1)}{2})^2[/TEX]

ta có :

[TEX]B=1+2+3+...+100 = \frac{100(100+1)}{2}=> A=B^2[/TEX]

Vì[TEX] A , B \in N^* => A \vdots B[/TEX] (đpcm)

 

[Kaito Kidㅤ]

2.
a.Ta có: n^5 - n = n (n^4 -1 )
=n (n^2-1)(n^2+1)
=n(n-1)(n+1)(n^2 - 4 +5)
=n(n-1)(n+1)(n^2-4) + n(n-1)(n+1)5
= (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+ n(n-1)(n+1)5
Vì (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) chia hết cho 30
và n(n-1)(n+1)5 chia hết cho 30
Nên (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+ n(n-1)(n+1)5 chia hết cho 30
hay n^5-n chia hết cho 30
b. 10^n + 18n - 28 = (10^n - 9n -1) + (27n - 27)
Ta có: 27n - 27 chia hết cho 27 (1)
10n - 9n - 1 = [( 9...9 + 1) - 9n - 1] = 9...9 - 9n = 9 (1...1 - n) chia hết cho 27 (2)
Vì 9 chia hết cho 9 và 1...1 - n chia hết cho 3. Do 1...1 - n là một số có tổng các chữ số chia hết cho 3 và từ (1) và (2) => ( 10^n+18n-28 ) chia hết cho 27.
c. [tex]n^{7}-n=(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)+7n(n-1)(n+1)(2n^2-5)[/tex]
Do (n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3) là 7 stn liên tiếp -> có 1 số chia hết cho 7
mà 7n(n-1)(n+1)(2n^2-5) chia hết cho 7
-> dcpcm